Sr Examen
Integral de 2*x/(x^2+x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 2*x | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx$$
Integral((2*x)/(x^2 + x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2*x | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
/-1 \
|---|
2*x 2*x + 1 \3/4/
---------- = ---------- + -------------------------
2 2 2
x + x + 1 x + x + 1 / ___ ___\
|-2*\/ 3 \/ 3 |
|--------*x - -----| + 1
\ 3 3 / o
/ | | 2*x | ---------- dx | 2 = | x + x + 1 | /
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 / /
| |
/ | 2*x + 1
- --------------------------------- + | ---------- dx
3 | 2
| x + x + 1
|
/ En integral
/ | | 2*x + 1 | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | /
hacemos el cambio
2 u = x + x
entonces
integral =
/ | | 1 | ----- du = log(1 + u) | 1 + u | /
hacemos cambio inverso
/ | | 2*x + 1 / 2\ | ---------- dx = log\1 + x + x / | 2 | x + x + 1 | /
En integral
/
|
| 1
-4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/
----------------------------------
3 hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*x*\/ 3
v = - ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/
|
| 1
-4* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ -4*atan(v)
--------------- = ----------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
-4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1 / ___ ___\
| \ 3 3 / ___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
| -2*\/ 3 *atan|----- + ---------|
/ \ 3 3 /
---------------------------------- = --------------------------------
3 3 La solución:
/ ___ ___\
___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
2*\/ 3 *atan|----- + ---------|
\ 3 3 / / 2\
C - ------------------------------- + log\1 + x + x /
3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |2*\/ 3 *(1/2 + x)| | 2*\/ 3 *atan|-----------------| | 2*x \ 3 / / 2\ | ---------- dx = C - ------------------------------- + log\1 + x + x / | 2 3 | x + x + 1 | /
$$\int \frac{2 x}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx = C + \log{\left(x^{2} + x + 1 \right)} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___
pi*\/ 3
- -------- + log(3)
9
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{9} + \log{\left(3 \right)}$$
=
=
___
pi*\/ 3
- -------- + log(3)
9
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{9} + \log{\left(3 \right)}$$
-pi*sqrt(3)/9 + log(3)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.