Integral de (x+1)/(x²+2x+6)² dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 1}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 6\right)^{2}} = \frac{x + 1}{x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 24 x + 36}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 1}{x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 24 x + 36} = \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 24 x + 36} + \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 24 x + 36}$

   3. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \frac{x + 6}{10 x^{2} + 20 x + 60} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \right)}}{50}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x + 1}{10 x^{2} + 20 x + 60} + \frac{\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \right)}}{50}$

      El resultado es: $\frac{x + 1}{10 x^{2} + 20 x + 60} - \frac{x + 6}{10 x^{2} + 20 x + 60}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 1}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 6\right)^{2}} = \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 24 x + 36} + \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 24 x + 36}$

   2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \frac{x + 6}{10 x^{2} + 20 x + 60} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \right)}}{50}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x + 1}{10 x^{2} + 20 x + 60} + \frac{\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \right)}}{50}$

      El resultado es: $\frac{x + 1}{10 x^{2} + 20 x + 60} - \frac{x + 6}{10 x^{2} + 20 x + 60}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{1}{2 x^{2} + 4 x + 12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{2 x^{2} + 4 x + 12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{2 x^{2} + 4 x + 12}+ \mathrm{constant}$