Integral de (3x-6)*((x^2)-4x-3)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} - 4 x\right) - 3$.

      Luego que $du = \left(2 x - 4\right) dx$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

      $\int \frac{3 u^{4}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{3 \int u^{4}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{5}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 3\right)^{5}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x - 6\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 3\right)^{4} = 3 x^{9} - 54 x^{8} + 348 x^{7} - 840 x^{6} - 126 x^{5} + 2604 x^{4} + 252 x^{3} - 3240 x^{2} - 2349 x - 486$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{9}\, dx = 3 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 54 x^{8}\right)\, dx = - 54 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 348 x^{7}\, dx = 348 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{87 x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 840 x^{6}\right)\, dx = - 840 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 120 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 126 x^{5}\right)\, dx = - 126 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 21 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2604 x^{4}\, dx = 2604 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2604 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 252 x^{3}\, dx = 252 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $63 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3240 x^{2}\right)\, dx = - 3240 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1080 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2349 x\right)\, dx = - 2349 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2349 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-486\right)\, dx = - 486 x$

      El resultado es: $\frac{3 x^{10}}{10} - 6 x^{9} + \frac{87 x^{8}}{2} - 120 x^{7} - 21 x^{6} + \frac{2604 x^{5}}{5} + 63 x^{4} - 1080 x^{3} - \frac{2349 x^{2}}{2} - 486 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3 \left(- x^{2} + 4 x + 3\right)^{5}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \left(- x^{2} + 4 x + 3\right)^{5}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \left(- x^{2} + 4 x + 3\right)^{5}}{10}+ \mathrm{constant}$