Integral de (1/2)*4*x*arccos(x^2-1) dx

1. que $u = x^{2} - 1$.

   Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

   $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

      1. que $u = 1 - u^{2}$.

         Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{1 - u^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \sqrt{1 - \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \left(x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \sqrt{1 - \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \left(x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \sqrt{1 - \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \left(x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sqrt{1 - \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \left(x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$