Sr Examen

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Integral de 1/(x^2+4x+12) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 oo                 
  /                 
 |                  
 |        1         
 |  ------------- dx
 |   2              
 |  x  + 4*x + 12   
 |                  
/                   
0                   
$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 12}\, dx$$
Integral(1/(x^2 + 4*x + 12), (x, 0, oo))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                
 |                 
 |       1         
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 4*x + 12   
 |                 
/                  
Reescribimos la función subintegral
      1                      1              
------------- = ----------------------------
 2                /                   2    \
x  + 4*x + 12     |/   ___        ___\     |
                  ||-\/ 2       \/ 2 |     |
                8*||-------*x - -----|  + 1|
                  \\   4          2  /     /
o
  /                  
 |                   
 |       1           
 | ------------- dx  
 |  2               =
 | x  + 4*x + 12     
 |                   
/                    
  
  /                           
 |                            
 |            1               
 | ------------------------ dx
 |                    2       
 | /   ___        ___\        
 | |-\/ 2       \/ 2 |        
 | |-------*x - -----|  + 1   
 | \   4          2  /        
 |                            
/                             
------------------------------
              8               
En integral
  /                           
 |                            
 |            1               
 | ------------------------ dx
 |                    2       
 | /   ___        ___\        
 | |-\/ 2       \/ 2 |        
 | |-------*x - -----|  + 1   
 | \   4          2  /        
 |                            
/                             
------------------------------
              8               
hacemos el cambio
        ___       ___
      \/ 2    x*\/ 2 
v = - ----- - -------
        2        4   
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     8            8   
hacemos cambio inverso
  /                                                         
 |                                                          
 |            1                                             
 | ------------------------ dx                              
 |                    2                                     
 | /   ___        ___\                                      
 | |-\/ 2       \/ 2 |                                      
 | |-------*x - -----|  + 1                /  ___       ___\
 | \   4          2  /             ___     |\/ 2    x*\/ 2 |
 |                               \/ 2 *atan|----- + -------|
/                                          \  2        4   /
------------------------------ = ---------------------------
              8                               4             
La solución:
              /  ___       ___\
      ___     |\/ 2    x*\/ 2 |
    \/ 2 *atan|----- + -------|
              \  2        4   /
C + ---------------------------
                 4             
Respuesta (Indefinida) [src]
                                    /  ___        \
  /                         ___     |\/ 2 *(2 + x)|
 |                        \/ 2 *atan|-------------|
 |       1                          \      4      /
 | ------------- dx = C + -------------------------
 |  2                                 4            
 | x  + 4*x + 12                                   
 |                                                 
/                                                  
$$\int \frac{1}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 12}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(x + 2\right)}{4} \right)}}{4}$$
Gráfica
Respuesta [src]
            /  ___\           
    ___     |\/ 2 |           
  \/ 2 *atan|-----|        ___
            \  2  /   pi*\/ 2 
- ----------------- + --------
          4              8    
$$- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \pi}{8}$$
=
=
            /  ___\           
    ___     |\/ 2 |           
  \/ 2 *atan|-----|        ___
            \  2  /   pi*\/ 2 
- ----------------- + --------
          4              8    
$$- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \pi}{8}$$
-sqrt(2)*atan(sqrt(2)/2)/4 + pi*sqrt(2)/8

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.