Integral de (2x-1)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x - 1$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{10}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{22}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x - 1\right)^{11}}{22}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x - 1\right)^{10} = 1024 x^{10} - 5120 x^{9} + 11520 x^{8} - 15360 x^{7} + 13440 x^{6} - 8064 x^{5} + 3360 x^{4} - 960 x^{3} + 180 x^{2} - 20 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1024 x^{10}\, dx = 1024 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1024 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5120 x^{9}\right)\, dx = - 5120 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 512 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11520 x^{8}\, dx = 11520 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1280 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 15360 x^{7}\right)\, dx = - 15360 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1920 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13440 x^{6}\, dx = 13440 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1920 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8064 x^{5}\right)\, dx = - 8064 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1344 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3360 x^{4}\, dx = 3360 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $672 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 960 x^{3}\right)\, dx = - 960 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 240 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 180 x^{2}\, dx = 180 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $60 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 20 x\right)\, dx = - 20 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 10 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{1024 x^{11}}{11} - 512 x^{10} + 1280 x^{9} - 1920 x^{8} + 1920 x^{7} - 1344 x^{6} + 672 x^{5} - 240 x^{4} + 60 x^{3} - 10 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{11}}{22}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{11}}{22}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right)^{11}}{22}+ \mathrm{constant}$