Integral de 4x*(x^3-x^1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sqrt{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(8 u^{9} + 8 u^{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{9}\, du = 8 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{10}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{4}\, du = 8 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{5}}{5}$

         El resultado es: $\frac{4 u^{10}}{5} + \frac{8 u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{5}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 x \left(- \sqrt{x} + x^{3}\right) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - 4 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{4}\, dx = 4 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{5}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{5}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$