Integral de (x^(3)+2x)*e^(x^(2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x^{2}} \left(x^{3} + 2 x\right) = x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x e^{x^{2}}\, dx = 2 \int x e^{x^{2}}\, dx$

         1. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{x^{2}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{e^{x^{2}}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x^{2}} \left(x^{3} + 2 x\right) = x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x e^{x^{2}}\, dx = 2 \int x e^{x^{2}}\, dx$

         1. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{x^{2}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{e^{x^{2}}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$