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Resolución de integrales/ x³(1+x²)^(1/2)

Integral de x³(1+x²)^(1/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |        ________   
 |   3   /      2    
 |  x *\/  1 + x   dx
 |                   
/                    
0
$$\int\limits_{0}^{1} x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}\, dx$$ 
Integral(x^3*sqrt(1 + x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

    TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(_u**2 - 1)/_u**6, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, symbol=_theta), restriction=True, context=x**3*sqrt(x**2 + 1), symbol=x)

  1. Ahora simplificar:

  2. Añadimos la constante de integración:

Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 
 |                                 3/2           5/2
 |       ________          /     2\      /     2\   
 |  3   /      2           \1 + x /      \1 + x /   
 | x *\/  1 + x   dx = C - ----------- + -----------
 |                              3             5     
/
$$\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         ___
2    2*\/ 2 
-- + -------
15      15
$$\frac{2}{15} + \frac{2 \sqrt{2}}{15}$$ 
=
= 
         ___
2    2*\/ 2 
-- + -------
15      15
$$\frac{2}{15} + \frac{2 \sqrt{2}}{15}$$ 
2/15 + 2*sqrt(2)/15
Respuesta numérica [src] 
0.321895141649746
0.321895141649746

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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