Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x-1)/ x/(x-1)^4

Integral de x/(x-1)^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         4   
 |  (x - 1)    
 |             
/              
0
∫01x(x−1)4 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x - 1\right)^{4}}\, dx 
Integral(x/(x - 1)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x−1)4=1(x−1)3+1(x−1)4\frac{x}{\left(x - 1\right)^{4}} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x−1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

      1. que u=x−1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u4 du\int \frac{1}{u^{4}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −13(x−1)3- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{3}}

      El resultado es: −12(x−1)2−13(x−1)3- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{3}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x−1)4=xx4−4x3+6x2−4x+1\frac{x}{\left(x - 1\right)^{4}} = \frac{x}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      xx4−4x3+6x2−4x+1=1(x−1)3+1(x−1)4\frac{x}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}}

    3. Integramos término a término:

      1. que u=x−1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

      1. que u=x−1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u4 du\int \frac{1}{u^{4}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −13(x−1)3- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{3}}

      El resultado es: −12(x−1)2−13(x−1)3- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{3}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x−1)4=xx4−4x3+6x2−4x+1\frac{x}{\left(x - 1\right)^{4}} = \frac{x}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      xx4−4x3+6x2−4x+1=1(x−1)3+1(x−1)4\frac{x}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}}

    3. Integramos término a término:

      1. que u=x−1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

      1. que u=x−1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u4 du\int \frac{1}{u^{4}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −13(x−1)3- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{3}}

      El resultado es: −12(x−1)2−13(x−1)3- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{3}}

  2. Ahora simplificar:

    1−3x6(x−1)3\frac{1 - 3 x}{6 \left(x - 1\right)^{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    1−3x6(x−1)3+constant\frac{1 - 3 x}{6 \left(x - 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

1−3x6(x−1)3+constant\frac{1 - 3 x}{6 \left(x - 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |    x                   1             1     
 | -------- dx = C - ----------- - -----------
 |        4                    2             3
 | (x - 1)           2*(-1 + x)    3*(-1 + x) 
 |                                            
/
∫x(x−1)4 dx=C−12(x−1)2−13(x−1)3\int \frac{x}{\left(x - 1\right)^{4}}\, dx = C - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{3}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9020000000000000000-10000000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
7.82959388416138e+56
7.82959388416138e+56

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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