Integral de (x*(4-x)^2)/2+2*x*(4-x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(2 u^{2} + 8 u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 u\, du = 8 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 u^{2}$

            El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + 4 u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $2 x \left(4 - x\right) = - 2 x^{2} + 8 x$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2}$

         El resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x \left(4 - x\right)^{2}}{2}\, dx = \frac{\int x \left(4 - x\right)^{2}\, dx}{2}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x \left(4 - x\right)^{2} = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 x^{2}\right)\, dx = - 8 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 x\, dx = 16 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 x^{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{8 x^{3}}{3} + 8 x^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{8} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x^{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{4}}{8} - 2 x^{3} + 8 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} - 16 x + 64\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} - 16 x + 64\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(x^{2} - 16 x + 64\right)}{8}+ \mathrm{constant}$