Integral de (5x+5y)*(3x^2+(x+y)^2) dz

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x^{2} + \left(x + y\right)^{2}$.

      Luego que $du = \left(2 x + 2 y\right) dy$ y ponemos $\frac{5 du}{2}$:

      $\int \frac{5 u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{5 \int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 \left(3 x^{2} + \left(x + y\right)^{2}\right)^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x + 5 y\right) \left(3 x^{2} + \left(x + y\right)^{2}\right) = 20 x^{3} + 30 x^{2} y + 15 x y^{2} + 5 y^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 20 x^{3}\, dy = 20 x^{3} y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 30 x^{2} y\, dy = 30 x^{2} \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15 x^{2} y^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x y^{2}\, dy = 15 x \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x y^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 y^{3}\, dy = 5 \int y^{3}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 y^{4}}{4}$

      El resultado es: $20 x^{3} y + 15 x^{2} y^{2} + 5 x y^{3} + \frac{5 y^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 \left(3 x^{2} + \left(x + y\right)^{2}\right)^{2}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \left(3 x^{2} + \left(x + y\right)^{2}\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \left(3 x^{2} + \left(x + y\right)^{2}\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$