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Resolución de integrales/ (2-x)/ (1+2x)/ ((1+2x)(x/4))/(2-x)

Integral de ((1+2x)(x/4))/(2-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |            x   
 |  (1 + 2*x)*-   
 |            4   
 |  ----------- dx
 |     2 - x      
 |                
/                 
0
∫01x4(2x+1)2−x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\frac{x}{4} \left(2 x + 1\right)}{2 - x}\, dx 
Integral(((1 + 2*x)*(x/4))/(2 - x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x4(2x+1)2−x=−x2−54−52(x−2)\frac{\frac{x}{4} \left(2 x + 1\right)}{2 - x} = - \frac{x}{2} - \frac{5}{4} - \frac{5}{2 \left(x - 2\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2) dx=−∫x dx2\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x24- \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−54) dx=−5x4\int \left(- \frac{5}{4}\right)\, dx = - \frac{5 x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−52(x−2)) dx=−5∫1x−2 dx2\int \left(- \frac{5}{2 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(x−2)2- \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}

      El resultado es: −x24−5x4−5log⁡(x−2)2- \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} - \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x4(2x+1)2−x=−2x2+x4x−8\frac{\frac{x}{4} \left(2 x + 1\right)}{2 - x} = - \frac{2 x^{2} + x}{4 x - 8}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2x2+x4x−8) dx=−∫2x2+x4x−8 dx\int \left(- \frac{2 x^{2} + x}{4 x - 8}\right)\, dx = - \int \frac{2 x^{2} + x}{4 x - 8}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2x2+x4x−8=x2+54+52(x−2)\frac{2 x^{2} + x}{4 x - 8} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4} + \frac{5}{2 \left(x - 2\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫54 dx=5x4\int \frac{5}{4}\, dx = \frac{5 x}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫52(x−2) dx=5∫1x−2 dx2\int \frac{5}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(x−2)2\frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}

        El resultado es: x24+5x4+5log⁡(x−2)2\frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −x24−5x4−5log⁡(x−2)2- \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} - \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x4(2x+1)2−x=x22(2−x)+x4(2−x)\frac{\frac{x}{4} \left(2 x + 1\right)}{2 - x} = \frac{x^{2}}{2 \left(2 - x\right)} + \frac{x}{4 \left(2 - x\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x22(2−x) dx=∫x22−x dx2\int \frac{x^{2}}{2 \left(2 - x\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{2 - x}\, dx}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x22−x=−x−2−4x−2\frac{x^{2}}{2 - x} = - x - 2 - \frac{4}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−4x−2) dx=−4∫1x−2 dx\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x−2)- 4 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: −x22−2x−4log⁡(x−2)- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −x24−x−2log⁡(x−2)- \frac{x^{2}}{4} - x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x4(2−x) dx=∫x2−x dx4\int \frac{x}{4 \left(2 - x\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{2 - x}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2−x=−1−2x−2\frac{x}{2 - x} = -1 - \frac{2}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x−2) dx=−2∫1x−2 dx\int \left(- \frac{2}{x - 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x−2)- 2 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: −x−2log⁡(x−2)- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −x4−log⁡(x−2)2- \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

      El resultado es: −x24−5x4−5log⁡(x−2)2- \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} - \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x24−5x4−5log⁡(x−2)2+constant- \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} - \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x24−5x4−5log⁡(x−2)2+constant- \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} - \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |           x                                  
 | (1 + 2*x)*-                                 2
 |           4          5*log(-2 + x)   5*x   x 
 | ----------- dx = C - ------------- - --- - --
 |    2 - x                   2          4    4 
 |                                              
/
∫x4(2x+1)2−x dx=C−x24−5x4−5log⁡(x−2)2\int \frac{\frac{x}{4} \left(2 x + 1\right)}{2 - x}\, dx = C - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} - \frac{5 \log{\left(x - 2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  3   5*log(2)
- - + --------
  2      2
−32+5log⁡(2)2- \frac{3}{2} + \frac{5 \log{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
  3   5*log(2)
- - + --------
  2      2
−32+5log⁡(2)2- \frac{3}{2} + \frac{5 \log{\left(2 \right)}}{2} 
-3/2 + 5*log(2)/2
Respuesta numérica [src] 
0.232867951399863
0.232867951399863

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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