Integral de e^(sin3x/3)cos3x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}$.

      Luego que $du = e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}} \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int 1\, du$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$.

      Luego que $du = \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}$

   Método #3

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}} \cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. que $u = \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$.

            Luego que $du = \frac{\cos{\left(u \right)} du}{3}$ y ponemos $3 du$:

            $\int 3 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $3 e^{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}+ \mathrm{constant}$