Integral de z^7(8+3z^4)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = z^{4}$.

      Luego que $du = 4 z^{3} dz$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{6561 u^{9}}{4} + 34992 u^{8} + 326592 u^{7} + 1741824 u^{6} + 5806080 u^{5} + 12386304 u^{4} + 16515072 u^{3} + 12582912 u^{2} + 4194304 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{6561 u^{9}}{4}\, du = \frac{6561 \int u^{9}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6561 u^{10}}{40}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 34992 u^{8}\, du = 34992 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3888 u^{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 326592 u^{7}\, du = 326592 \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $40824 u^{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1741824 u^{6}\, du = 1741824 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $248832 u^{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5806080 u^{5}\, du = 5806080 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $967680 u^{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12386304 u^{4}\, du = 12386304 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12386304 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16515072 u^{3}\, du = 16515072 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4128768 u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12582912 u^{2}\, du = 12582912 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4194304 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4194304 u\, du = 4194304 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2097152 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{6561 u^{10}}{40} + 3888 u^{9} + 40824 u^{8} + 248832 u^{7} + 967680 u^{6} + \frac{12386304 u^{5}}{5} + 4128768 u^{4} + 4194304 u^{3} + 2097152 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6561 z^{40}}{40} + 3888 z^{36} + 40824 z^{32} + 248832 z^{28} + 967680 z^{24} + \frac{12386304 z^{20}}{5} + 4128768 z^{16} + 4194304 z^{12} + 2097152 z^{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $z^{7} \left(3 z^{4} + 8\right)^{8} = 6561 z^{39} + 139968 z^{35} + 1306368 z^{31} + 6967296 z^{27} + 23224320 z^{23} + 49545216 z^{19} + 66060288 z^{15} + 50331648 z^{11} + 16777216 z^{7}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6561 z^{39}\, dz = 6561 \int z^{39}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{39}\, dz = \frac{z^{40}}{40}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6561 z^{40}}{40}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 139968 z^{35}\, dz = 139968 \int z^{35}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{35}\, dz = \frac{z^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3888 z^{36}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1306368 z^{31}\, dz = 1306368 \int z^{31}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{31}\, dz = \frac{z^{32}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $40824 z^{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6967296 z^{27}\, dz = 6967296 \int z^{27}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{27}\, dz = \frac{z^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $248832 z^{28}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 23224320 z^{23}\, dz = 23224320 \int z^{23}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{23}\, dz = \frac{z^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $967680 z^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 49545216 z^{19}\, dz = 49545216 \int z^{19}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{19}\, dz = \frac{z^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12386304 z^{20}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 66060288 z^{15}\, dz = 66060288 \int z^{15}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{15}\, dz = \frac{z^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4128768 z^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 50331648 z^{11}\, dz = 50331648 \int z^{11}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{11}\, dz = \frac{z^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4194304 z^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16777216 z^{7}\, dz = 16777216 \int z^{7}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{7}\, dz = \frac{z^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2097152 z^{8}$

      El resultado es: $\frac{6561 z^{40}}{40} + 3888 z^{36} + 40824 z^{32} + 248832 z^{28} + 967680 z^{24} + \frac{12386304 z^{20}}{5} + 4128768 z^{16} + 4194304 z^{12} + 2097152 z^{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{z^{8} \left(6561 z^{32} + 155520 z^{28} + 1632960 z^{24} + 9953280 z^{20} + 38707200 z^{16} + 99090432 z^{12} + 165150720 z^{8} + 167772160 z^{4} + 83886080\right)}{40}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{z^{8} \left(6561 z^{32} + 155520 z^{28} + 1632960 z^{24} + 9953280 z^{20} + 38707200 z^{16} + 99090432 z^{12} + 165150720 z^{8} + 167772160 z^{4} + 83886080\right)}{40}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{z^{8} \left(6561 z^{32} + 155520 z^{28} + 1632960 z^{24} + 9953280 z^{20} + 38707200 z^{16} + 99090432 z^{12} + 165150720 z^{8} + 167772160 z^{4} + 83886080\right)}{40}+ \mathrm{constant}$