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Resolución de integrales/ (4x-2)/ cos2(x)/ (4x-2)*cos2(x)

Integral de (4x-2)*cos2(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |                      
 |               2      
 |  (4*x - 2)*cos (x) dx
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0
∫01(4x−2)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 2\right) \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx 
Integral((4*x - 2)*cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−2)cos⁡2(x)=4xcos⁡2(x)−2cos⁡2(x)\left(4 x - 2\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = 4 x \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡2(x) dx=4∫xcos⁡2(x) dx\int 4 x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2+cos⁡2(x)4\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2sin⁡2(x)+x2cos⁡2(x)+2xsin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡2(x)x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡2(x)) dx=−2∫cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x−sin⁡(2x)2- x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: x2sin⁡2(x)+x2cos⁡2(x)+2xsin⁡(x)cos⁡(x)−x−sin⁡(2x)2+cos⁡2(x)x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−2)cos⁡2(x)=4xcos⁡2(x)−2cos⁡2(x)\left(4 x - 2\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = 4 x \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡2(x) dx=4∫xcos⁡2(x) dx\int 4 x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2+cos⁡2(x)4\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2sin⁡2(x)+x2cos⁡2(x)+2xsin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡2(x)x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡2(x)) dx=−2∫cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x−sin⁡(2x)2- x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: x2sin⁡2(x)+x2cos⁡2(x)+2xsin⁡(x)cos⁡(x)−x−sin⁡(2x)2+cos⁡2(x)x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x2+xsin⁡(2x)−x+2cos⁡(2x+π4)2+12x^{2} + x \sin{\left(2 x \right)} - x + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{1}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2+xsin⁡(2x)−x+2cos⁡(2x+π4)2+12+constantx^{2} + x \sin{\left(2 x \right)} - x + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+xsin⁡(2x)−x+2cos⁡(2x+π4)2+12+constantx^{2} + x \sin{\left(2 x \right)} - x + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |              2                2          sin(2*x)    2    2       2    2                       
 | (4*x - 2)*cos (x) dx = C + cos (x) - x - -------- + x *cos (x) + x *sin (x) + 2*x*cos(x)*sin(x)
 |                                             2                                                  
/
∫(4x−2)cos⁡2(x) dx=C+x2sin⁡2(x)+x2cos⁡2(x)+2xsin⁡(x)cos⁡(x)−x−sin⁡(2x)2+cos⁡2(x)\int \left(4 x - 2\right) \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C + x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2                   
- sin (1) + cos(1)*sin(1)
−sin⁡2(1)+sin⁡(1)cos⁡(1)- \sin^{2}{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} 
=
= 
     2                   
- sin (1) + cos(1)*sin(1)
−sin⁡2(1)+sin⁡(1)cos⁡(1)- \sin^{2}{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} 
-sin(1)^2 + cos(1)*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
-0.25342470486073
-0.25342470486073

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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