Integral de (2x-3)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x - 3$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{10}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{22}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x - 3\right)^{11}}{22}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x - 3\right)^{10} = 1024 x^{10} - 15360 x^{9} + 103680 x^{8} - 414720 x^{7} + 1088640 x^{6} - 1959552 x^{5} + 2449440 x^{4} - 2099520 x^{3} + 1180980 x^{2} - 393660 x + 59049$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1024 x^{10}\, dx = 1024 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1024 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 15360 x^{9}\right)\, dx = - 15360 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1536 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 103680 x^{8}\, dx = 103680 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $11520 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 414720 x^{7}\right)\, dx = - 414720 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 51840 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1088640 x^{6}\, dx = 1088640 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $155520 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1959552 x^{5}\right)\, dx = - 1959552 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 326592 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2449440 x^{4}\, dx = 2449440 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $489888 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2099520 x^{3}\right)\, dx = - 2099520 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 524880 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1180980 x^{2}\, dx = 1180980 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $393660 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 393660 x\right)\, dx = - 393660 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 196830 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 59049\, dx = 59049 x$

      El resultado es: $\frac{1024 x^{11}}{11} - 1536 x^{10} + 11520 x^{9} - 51840 x^{8} + 155520 x^{7} - 326592 x^{6} + 489888 x^{5} - 524880 x^{4} + 393660 x^{3} - 196830 x^{2} + 59049 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 3\right)^{11}}{22}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 3\right)^{11}}{22}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 3\right)^{11}}{22}+ \mathrm{constant}$