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Resolución de integrales/ (y-x)/ y/(y-x)

Integral de y/(y-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1         
  /         
 |          
 |    y     
 |  ----- dx
 |  y - x   
 |          
/           
0
∫01y−x+y dx\int\limits_{0}^{1} \frac{y}{- x + y}\, dx 
Integral(y/(y - x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫y−x+y dx=y∫1−x+y dx\int \frac{y}{- x + y}\, dx = y \int \frac{1}{- x + y}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−x+yu = - x + y.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(−x+y)- \log{\left(- x + y \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1−x+y=−1x−y\frac{1}{- x + y} = - \frac{1}{x - y}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x−y) dx=−∫1x−y dx\int \left(- \frac{1}{x - y}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - y}\, dx

        1. que u=x−yu = x - y.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−y)\log{\left(x - y \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−y)- \log{\left(x - y \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1−x+y=−1x−y\frac{1}{- x + y} = - \frac{1}{x - y}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x−y) dx=−∫1x−y dx\int \left(- \frac{1}{x - y}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - y}\, dx

        1. que u=x−yu = x - y.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−y)\log{\left(x - y \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−y)- \log{\left(x - y \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −ylog⁡(−x+y)- y \log{\left(- x + y \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −ylog⁡(−x+y)+constant- y \log{\left(- x + y \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−ylog⁡(−x+y)+constant- y \log{\left(- x + y \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                           
 |                            
 |   y                        
 | ----- dx = C - y*log(y - x)
 | y - x                      
 |                            
/
∫y−x+y dx=C−ylog⁡(−x+y)\int \frac{y}{- x + y}\, dx = C - y \log{\left(- x + y \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
y*log(-y) - y*log(1 - y)
ylog⁡(−y)−ylog⁡(1−y)y \log{\left(- y \right)} - y \log{\left(1 - y \right)} 
=
= 
y*log(-y) - y*log(1 - y)
ylog⁡(−y)−ylog⁡(1−y)y \log{\left(- y \right)} - y \log{\left(1 - y \right)} 
y*log(-y) - y*log(1 - y)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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