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Resolución de integrales/ (4x-2)/ cos4x/ (4x-2)*cos4x

Integral de (4x-2)*cos4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  (4*x - 2)*cos(4*x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(4x−2)cos⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 2\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral((4*x - 2)*cos(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos dudu:

      ∫(ucos⁡(u)4−cos⁡(u)2) du\int \left(\frac{u \cos{\left(u \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ucos⁡(u)4 du=∫ucos⁡(u) du4\int \frac{u \cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int u \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: usin⁡(u)4+cos⁡(u)4\frac{u \sin{\left(u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(u)2) du=−∫cos⁡(u) du2\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)2- \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        El resultado es: usin⁡(u)4−sin⁡(u)2+cos⁡(u)4\frac{u \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xsin⁡(4x)−sin⁡(4x)2+cos⁡(4x)4x \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−2)cos⁡(4x)=4xcos⁡(4x)−2cos⁡(4x)\left(4 x - 2\right) \cos{\left(4 x \right)} = 4 x \cos{\left(4 x \right)} - 2 \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(4x) dx=4∫xcos⁡(4x) dx\int 4 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(4x)4 dx=∫sin⁡(4x) dx4\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)16- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(4x)+cos⁡(4x)4x \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(4x)) dx=−2∫cos⁡(4x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)2- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}

      El resultado es: xsin⁡(4x)−sin⁡(4x)2+cos⁡(4x)4x \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x−2u{\left(x \right)} = 4 x - 2 y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

      ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−2)cos⁡(4x)=4xcos⁡(4x)−2cos⁡(4x)\left(4 x - 2\right) \cos{\left(4 x \right)} = 4 x \cos{\left(4 x \right)} - 2 \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(4x) dx=4∫xcos⁡(4x) dx\int 4 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(4x)4 dx=∫sin⁡(4x) dx4\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)16- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(4x)+cos⁡(4x)4x \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(4x)) dx=−2∫cos⁡(4x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)2- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}

      El resultado es: xsin⁡(4x)−sin⁡(4x)2+cos⁡(4x)4x \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(4x)−sin⁡(4x)2+cos⁡(4x)4+constantx \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(4x)−sin⁡(4x)2+cos⁡(4x)4+constantx \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                             sin(4*x)   cos(4*x)             
 | (4*x - 2)*cos(4*x) dx = C - -------- + -------- + x*sin(4*x)
 |                                2          4                 
/
∫(4x−2)cos⁡(4x) dx=C+xsin⁡(4x)−sin⁡(4x)2+cos⁡(4x)4\int \left(4 x - 2\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C + x \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   sin(4)   cos(4)
- - + ------ + ------
  4     2        4
sin⁡(4)2−14+cos⁡(4)4\frac{\sin{\left(4 \right)}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{\cos{\left(4 \right)}}{4} 
=
= 
  1   sin(4)   cos(4)
- - + ------ + ------
  4     2        4
sin⁡(4)2−14+cos⁡(4)4\frac{\sin{\left(4 \right)}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{\cos{\left(4 \right)}}{4} 
-1/4 + sin(4)/2 + cos(4)/4
Respuesta numérica [src] 
-0.791812152869867
-0.791812152869867

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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