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Resolución de integrales/ cos(x/4)/ (x-5)/ (x-5)*cos(x/4)

Integral de (x-5)*cos(x/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |             /x\   
 |  (x - 5)*cos|-| dx
 |             \4/   
 |                   
/                    
0
∫01(x−5)cos⁡(x4) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - 5\right) \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx 
Integral((x - 5)*cos(x/4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−5)cos⁡(x4)=xcos⁡(x4)−5cos⁡(x4)\left(x - 5\right) \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 5 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(x4) dx=4∫sin⁡(x4) dx\int 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −16cos⁡(x4)- 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(x4)) dx=−5∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 5 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −20sin⁡(x4)- 20 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: 4xsin⁡(x4)−20sin⁡(x4)+16cos⁡(x4)4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 20 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x−5u{\left(x \right)} = x - 5 y que dv⁡(x)=cos⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4sin⁡(x4) dx=4∫sin⁡(x4) dx\int 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −16cos⁡(x4)- 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−5)cos⁡(x4)=xcos⁡(x4)−5cos⁡(x4)\left(x - 5\right) \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 5 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(x4) dx=4∫sin⁡(x4) dx\int 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −16cos⁡(x4)- 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(x4)) dx=−5∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 5 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −20sin⁡(x4)- 20 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: 4xsin⁡(x4)−20sin⁡(x4)+16cos⁡(x4)4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 20 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4xsin⁡(x4)−20sin⁡(x4)+16cos⁡(x4)+constant4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 20 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4xsin⁡(x4)−20sin⁡(x4)+16cos⁡(x4)+constant4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 20 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 |            /x\                /x\         /x\          /x\
 | (x - 5)*cos|-| dx = C - 20*sin|-| + 16*cos|-| + 4*x*sin|-|
 |            \4/                \4/         \4/          \4/
 |                                                           
/
∫(x−5)cos⁡(x4) dx=C+4xsin⁡(x4)−20sin⁡(x4)+16cos⁡(x4)\int \left(x - 5\right) \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = C + 4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 20 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-16 - 16*sin(1/4) + 16*cos(1/4)
−16−16sin⁡(14)+16cos⁡(14)-16 - 16 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} + 16 \cos{\left(\frac{1}{4} \right)} 
=
= 
-16 - 16*sin(1/4) + 16*cos(1/4)
−16−16sin⁡(14)+16cos⁡(14)-16 - 16 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} + 16 \cos{\left(\frac{1}{4} \right)} 
-16 - 16*sin(1/4) + 16*cos(1/4)
Respuesta numérica [src] 
-4.45586460070205
-4.45586460070205

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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