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Resolución de integrales/ x^2+8/ (2x+4)/ (4x^2+8x+17)/(2x+4)

Integral de (4x^2+8x+17)/(2x+4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                   
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 |                    
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 |  4*x  + 8*x + 17   
 |  --------------- dx
 |      2*x + 4       
 |                    
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1
∫12(4x2+8x)+172x+4 dx\int\limits_{1}^{2} \frac{\left(4 x^{2} + 8 x\right) + 17}{2 x + 4}\, dx 
Integral((4*x^2 + 8*x + 17)/(2*x + 4), (x, 1, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x2+8x)+172x+4=2x+172(x+2)\frac{\left(4 x^{2} + 8 x\right) + 17}{2 x + 4} = 2 x + \frac{17}{2 \left(x + 2\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫172(x+2) dx=17∫1x+2 dx2\int \frac{17}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{17 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{2}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 17log⁡(x+2)2\frac{17 \log{\left(x + 2 \right)}}{2}

      El resultado es: x2+17log⁡(x+2)2x^{2} + \frac{17 \log{\left(x + 2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x2+8x)+172x+4=4x22x+4+8x2x+4+172x+4\frac{\left(4 x^{2} + 8 x\right) + 17}{2 x + 4} = \frac{4 x^{2}}{2 x + 4} + \frac{8 x}{2 x + 4} + \frac{17}{2 x + 4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x22x+4 dx=4∫x22x+4 dx\int \frac{4 x^{2}}{2 x + 4}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{2 x + 4}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x22x+4=x2−1+2x+2\frac{x^{2}}{2 x + 4} = \frac{x}{2} - 1 + \frac{2}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2x+2 dx=2∫1x+2 dx\int \frac{2}{x + 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x+2)2 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x24−x+2log⁡(x+2)\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x2−4x+8log⁡(x+2)x^{2} - 4 x + 8 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8x2x+4 dx=8∫x2x+4 dx\int \frac{8 x}{2 x + 4}\, dx = 8 \int \frac{x}{2 x + 4}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+4=12−1x+2\frac{x}{2 x + 4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x+2) dx=−∫1x+2 dx\int \left(- \frac{1}{x + 2}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+2)- \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x2−log⁡(x+2)\frac{x}{2} - \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x−8log⁡(x+2)4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫172x+4 dx=17∫12x+4 dx\int \frac{17}{2 x + 4}\, dx = 17 \int \frac{1}{2 x + 4}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2x+4u = 2 x + 4.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x+4)2\frac{\log{\left(2 x + 4 \right)}}{2}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            12x+4=12(x+2)\frac{1}{2 x + 4} = \frac{1}{2 \left(x + 2\right)}

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(x+2) dx=∫1x+2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{2}

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)2\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 17log⁡(2x+4)2\frac{17 \log{\left(2 x + 4 \right)}}{2}

      El resultado es: x2+17log⁡(2x+4)2x^{2} + \frac{17 \log{\left(2 x + 4 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2+17log⁡(x+2)2+constantx^{2} + \frac{17 \log{\left(x + 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+17log⁡(x+2)2+constantx^{2} + \frac{17 \log{\left(x + 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
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 |    2                                       
 | 4*x  + 8*x + 17           2   17*log(2 + x)
 | --------------- dx = C + x  + -------------
 |     2*x + 4                         2      
 |                                            
/
∫(4x2+8x)+172x+4 dx=C+x2+17log⁡(x+2)2\int \frac{\left(4 x^{2} + 8 x\right) + 17}{2 x + 4}\, dx = C + x^{2} + \frac{17 \log{\left(x + 2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.90020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    17*log(3)   17*log(4)
3 - --------- + ---------
        2           2
−17log⁡(3)2+3+17log⁡(4)2- \frac{17 \log{\left(3 \right)}}{2} + 3 + \frac{17 \log{\left(4 \right)}}{2} 
=
= 
    17*log(3)   17*log(4)
3 - --------- + ---------
        2           2
−17log⁡(3)2+3+17log⁡(4)2- \frac{17 \log{\left(3 \right)}}{2} + 3 + \frac{17 \log{\left(4 \right)}}{2} 
3 - 17*log(3)/2 + 17*log(4)/2
Respuesta numérica [src] 
5.44529761584014
5.44529761584014

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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