Integral de x-(1-2x^2)^7 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(1 - 2 x^{2}\right)^{7}\right)\, dx = - \int \left(1 - 2 x^{2}\right)^{7}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - 2 x^{2}\right)^{7} = - 128 x^{14} + 448 x^{12} - 672 x^{10} + 560 x^{8} - 280 x^{6} + 84 x^{4} - 14 x^{2} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 128 x^{14}\right)\, dx = - 128 \int x^{14}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 x^{15}}{15}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 448 x^{12}\, dx = 448 \int x^{12}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{448 x^{13}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 672 x^{10}\right)\, dx = - 672 \int x^{10}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{672 x^{11}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 560 x^{8}\, dx = 560 \int x^{8}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{560 x^{9}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 280 x^{6}\right)\, dx = - 280 \int x^{6}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 40 x^{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 84 x^{4}\, dx = 84 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{84 x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 14 x^{2}\right)\, dx = - 14 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{14 x^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $- \frac{128 x^{15}}{15} + \frac{448 x^{13}}{13} - \frac{672 x^{11}}{11} + \frac{560 x^{9}}{9} - 40 x^{7} + \frac{84 x^{5}}{5} - \frac{14 x^{3}}{3} + x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 x^{15}}{15} - \frac{448 x^{13}}{13} + \frac{672 x^{11}}{11} - \frac{560 x^{9}}{9} + 40 x^{7} - \frac{84 x^{5}}{5} + \frac{14 x^{3}}{3} - x$

   El resultado es: $\frac{128 x^{15}}{15} - \frac{448 x^{13}}{13} + \frac{672 x^{11}}{11} - \frac{560 x^{9}}{9} + 40 x^{7} - \frac{84 x^{5}}{5} + \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(109824 x^{14} - 443520 x^{12} + 786240 x^{10} - 800800 x^{8} + 514800 x^{6} - 216216 x^{4} + 60060 x^{2} + 6435 x - 12870\right)}{12870}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(109824 x^{14} - 443520 x^{12} + 786240 x^{10} - 800800 x^{8} + 514800 x^{6} - 216216 x^{4} + 60060 x^{2} + 6435 x - 12870\right)}{12870}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(109824 x^{14} - 443520 x^{12} + 786240 x^{10} - 800800 x^{8} + 514800 x^{6} - 216216 x^{4} + 60060 x^{2} + 6435 x - 12870\right)}{12870}+ \mathrm{constant}$