Sr Examen

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Resolución de integrales/ e^(-x/3)/ (x-1)/ ((x-1)^2)e^(-x/3)

Integral de ((x-1)^2)e^(-x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  E                 
  /                 
 |                  
 |            -x    
 |            ---   
 |         2   3    
 |  (x - 1) *E    dx
 |                  
/                   
1
∫1ee(−1)x3(x−1)2 dx\int\limits_{1}^{e} e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \left(x - 1\right)^{2}\, dx 
Integral((x - 1)^2*E^((-x)/3), (x, 1, E))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e(−1)x3(x−1)2=(x2−2x+1)e−x3e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \left(x - 1\right)^{2} = \left(x^{2} - 2 x + 1\right) e^{- \frac{x}{3}}

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2−2x+1u{\left(x \right)} = x^{2} - 2 x + 1 y que dv⁡(x)=e−x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{3}}.

      Entonces du⁡(x)=2x−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x - 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

        Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

        ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=6−6xu{\left(x \right)} = 6 - 6 x y que dv⁡(x)=e−x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{3}}.

      Entonces du⁡(x)=−6\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

        Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

        ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫18e−x3 dx=18∫e−x3 dx\int 18 e^{- \frac{x}{3}}\, dx = 18 \int e^{- \frac{x}{3}}\, dx

      1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

        Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

        ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

      Por lo tanto, el resultado es: −54e−x3- 54 e^{- \frac{x}{3}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e(−1)x3(x−1)2=x2e−x3−2xe−x3+e−x3e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \left(x - 1\right)^{2} = x^{2} e^{- \frac{x}{3}} - 2 x e^{- \frac{x}{3}} + e^{- \frac{x}{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e−x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{3}}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

          Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

          ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−6xu{\left(x \right)} = - 6 x y que dv⁡(x)=e−x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{3}}.

        Entonces du⁡(x)=−6\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

          Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

          ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫18e−x3 dx=18∫e−x3 dx\int 18 e^{- \frac{x}{3}}\, dx = 18 \int e^{- \frac{x}{3}}\, dx

        1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

          Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

          ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: −54e−x3- 54 e^{- \frac{x}{3}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xe−x3) dx=−2∫xe−x3 dx\int \left(- 2 x e^{- \frac{x}{3}}\right)\, dx = - 2 \int x e^{- \frac{x}{3}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{3}}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

            Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

            ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3e−x3) dx=−3∫e−x3 dx\int \left(- 3 e^{- \frac{x}{3}}\right)\, dx = - 3 \int e^{- \frac{x}{3}}\, dx

          1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

            Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

            ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: 9e−x39 e^{- \frac{x}{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: 6xe−x3+18e−x36 x e^{- \frac{x}{3}} + 18 e^{- \frac{x}{3}}

      1. que u=−x3u = - \frac{x}{3}.

        Luego que du=−dx3du = - \frac{dx}{3} y ponemos −3du- 3 du:

        ∫(−3eu) du\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −3eu- 3 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3e−x3- 3 e^{- \frac{x}{3}}

      El resultado es: −3x2e−x3−12xe−x3−39e−x3- 3 x^{2} e^{- \frac{x}{3}} - 12 x e^{- \frac{x}{3}} - 39 e^{- \frac{x}{3}}

  2. Ahora simplificar:

    −(3x2+12x+39)e−x3- \left(3 x^{2} + 12 x + 39\right) e^{- \frac{x}{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(3x2+12x+39)e−x3+constant- \left(3 x^{2} + 12 x + 39\right) e^{- \frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(3x2+12x+39)e−x3+constant- \left(3 x^{2} + 12 x + 39\right) e^{- \frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                         
 |                                                                          
 |           -x               -x                      -x                 -x 
 |           ---              ---                     ---                ---
 |        2   3                3      /     2      \   3                  3 
 | (x - 1) *E    dx = C - 54*e    - 3*\1 + x  - 2*x/*e    + 3*(6 - 6*x)*e   
 |                                                                          
/
∫e(−1)x3(x−1)2 dx=C+3(6−6x)e−x3−3(x2−2x+1)e−x3−54e−x3\int e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \left(x - 1\right)^{2}\, dx = C + 3 \left(6 - 6 x\right) e^{- \frac{x}{3}} - 3 \left(x^{2} - 2 x + 1\right) e^{- \frac{x}{3}} - 54 e^{- \frac{x}{3}}
Simplificar
Gráfica
1.01.21.41.61.82.02.22.42.6-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                -E 
                                ---
    -1/3   /                2\   3 
54*e     + \-39 - 12*E - 3*e /*e
−39−12e−3e2ee3+54e13\frac{-39 - 12 e - 3 e^{2}}{e^{\frac{e}{3}}} + \frac{54}{e^{\frac{1}{3}}} 
=
= 
                                -E 
                                ---
    -1/3   /                2\   3 
54*e     + \-39 - 12*E - 3*e /*e
−39−12e−3e2ee3+54e13\frac{-39 - 12 e - 3 e^{2}}{e^{\frac{e}{3}}} + \frac{54}{e^{\frac{1}{3}}} 
54*exp(-1/3) + (-39 - 12*E - 3*exp(2))*exp(-E/3)
Respuesta numérica [src] 
0.793585080224055
0.793585080224055

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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