Integral de (3x+2)/(x+1)^(1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(12 u^{2} \left(u^{4} - 1\right) + 8 u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{2} \left(u^{4} - 1\right)\, du = 12 \int u^{2} \left(u^{4} - 1\right)\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $u^{2} \left(u^{4} - 1\right) = u^{6} - u^{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 u^{7}}{7} - 4 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{2}\, du = 8 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{12 u^{7}}{7} - \frac{4 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{12 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{7} - \frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 2}{\sqrt[4]{x + 1}} = \frac{3 x}{\sqrt[4]{x + 1}} + \frac{2}{\sqrt[4]{x + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{\sqrt[4]{x + 1}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 1}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{4}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 4 \left(-1 + \frac{1}{u^{4}}\right)^{2} + 4 - \frac{4}{u^{4}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4 \left(-1 + \frac{1}{u^{4}}\right)^{2}\right)\, du = - 4 \int \left(-1 + \frac{1}{u^{4}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(-1 + \frac{1}{u^{4}}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{u^{4}} + \frac{1}{u^{8}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{2}{u^{4}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                        El resultado es: $u + \frac{2}{3 u^{3}} - \frac{1}{7 u^{7}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(-1 + \frac{1}{u^{4}}\right)^{2} = \frac{u^{8} - 2 u^{4} + 1}{u^{8}}$

                     2. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{u^{8} - 2 u^{4} + 1}{u^{8}} = 1 - \frac{2}{u^{4}} + \frac{1}{u^{8}}$

                     3. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{2}{u^{4}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                        El resultado es: $u + \frac{2}{3 u^{3}} - \frac{1}{7 u^{7}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u - \frac{8}{3 u^{3}} + \frac{4}{7 u^{7}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 4\, du = 4 u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{4}{u^{4}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{3 u^{3}}$

               El resultado es: $- \frac{4}{3 u^{3}} + \frac{4}{7 u^{7}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{7} - \frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{7} - 4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\sqrt[4]{x + 1}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}\, dx$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[4]{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt[4]{u}}\, du = \frac{4 u^{\frac{3}{4}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{12 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{7} - \frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}} \left(9 x + 2\right)}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}} \left(9 x + 2\right)}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}} \left(9 x + 2\right)}{21}+ \mathrm{constant}$