Integral de x^(5/7)*(1-x^(1/7)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{5}{7}}$.

      Luego que $du = \frac{5 dx}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{7 u^{\frac{8}{5}}}{5} + \frac{7 u^{\frac{7}{5}}}{5}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{7 u^{\frac{8}{5}}}{5}\right)\, du = - \frac{7 \int u^{\frac{8}{5}}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{8}{5}}\, du = \frac{5 u^{\frac{13}{5}}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 u^{\frac{13}{5}}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{7 u^{\frac{7}{5}}}{5}\, du = \frac{7 \int u^{\frac{7}{5}}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{7}{5}}\, du = \frac{5 u^{\frac{12}{5}}}{12}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 u^{\frac{12}{5}}}{12}$

         El resultado es: $- \frac{7 u^{\frac{13}{5}}}{13} + \frac{7 u^{\frac{12}{5}}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{7 x^{\frac{13}{7}}}{13} + \frac{7 x^{\frac{12}{7}}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{\frac{5}{7}} \left(1 - \sqrt[7]{x}\right) = - x^{\frac{6}{7}} + x^{\frac{5}{7}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{6}{7}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{6}{7}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{6}{7}}\, dx = \frac{7 x^{\frac{13}{7}}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 x^{\frac{13}{7}}}{13}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{5}{7}}\, dx = \frac{7 x^{\frac{12}{7}}}{12}$

      El resultado es: $- \frac{7 x^{\frac{13}{7}}}{13} + \frac{7 x^{\frac{12}{7}}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{7 x^{\frac{12}{7}} \left(13 - 12 \sqrt[7]{x}\right)}{156}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{7 x^{\frac{12}{7}} \left(13 - 12 \sqrt[7]{x}\right)}{156}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{7 x^{\frac{12}{7}} \left(13 - 12 \sqrt[7]{x}\right)}{156}+ \mathrm{constant}$