Sr Examen

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Resolución de integrales/ (3x-5)/ cos(4x)/ (3x-5)cos(4x)

Integral de (3x-5)cos(4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                      
  /                      
 |                       
 |  (3*x - 5)*cos(4*x) dx
 |                       
/                        
-p                       
---                      
 4
∫−p40(3x−5)cos⁡(4x) dx\int\limits_{- \frac{p}{4}}^{0} \left(3 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral((3*x - 5)*cos(4*x), (x, -p/4, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−5)cos⁡(4x)=3xcos⁡(4x)−5cos⁡(4x)\left(3 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)} = 3 x \cos{\left(4 x \right)} - 5 \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xcos⁡(4x) dx=3∫xcos⁡(4x) dx\int 3 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(4x)4 dx=∫sin⁡(4x) dx4\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)16- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xsin⁡(4x)4+3cos⁡(4x)16\frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(4x)) dx=−5∫cos⁡(4x) dx\int \left(- 5 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡(4x)4- \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4}

      El resultado es: 3xsin⁡(4x)4−5sin⁡(4x)4+3cos⁡(4x)16\frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x−5u{\left(x \right)} = 3 x - 5 y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3sin⁡(4x)4 dx=3∫sin⁡(4x) dx4\int \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(4x)16- \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−5)cos⁡(4x)=3xcos⁡(4x)−5cos⁡(4x)\left(3 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)} = 3 x \cos{\left(4 x \right)} - 5 \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xcos⁡(4x) dx=3∫xcos⁡(4x) dx\int 3 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(4x)4 dx=∫sin⁡(4x) dx4\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)16- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xsin⁡(4x)4+3cos⁡(4x)16\frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(4x)) dx=−5∫cos⁡(4x) dx\int \left(- 5 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡(4x)4- \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4}

      El resultado es: 3xsin⁡(4x)4−5sin⁡(4x)4+3cos⁡(4x)16\frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3xsin⁡(4x)4−5sin⁡(4x)4+3cos⁡(4x)16+constant\frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3xsin⁡(4x)4−5sin⁡(4x)4+3cos⁡(4x)16+constant\frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                             5*sin(4*x)   3*cos(4*x)   3*x*sin(4*x)
 | (3*x - 5)*cos(4*x) dx = C - ---------- + ---------- + ------------
 |                                 4            16            4      
/
∫(3x−5)cos⁡(4x) dx=C+3xsin⁡(4x)4−5sin⁡(4x)4+3cos⁡(4x)16\int \left(3 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16}
Simplificar
Respuesta [src] 
3    5*sin(p)   3*cos(p)   3*p*sin(p)
-- - -------- - -------- - ----------
16      4          16          16
−3psin⁡(p)16−5sin⁡(p)4−3cos⁡(p)16+316- \frac{3 p \sin{\left(p \right)}}{16} - \frac{5 \sin{\left(p \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(p \right)}}{16} + \frac{3}{16} 
=
= 
3    5*sin(p)   3*cos(p)   3*p*sin(p)
-- - -------- - -------- - ----------
16      4          16          16
−3psin⁡(p)16−5sin⁡(p)4−3cos⁡(p)16+316- \frac{3 p \sin{\left(p \right)}}{16} - \frac{5 \sin{\left(p \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(p \right)}}{16} + \frac{3}{16} 
3/16 - 5*sin(p)/4 - 3*cos(p)/16 - 3*p*sin(p)/16

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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