Integral de (x^2+5x-8)/√x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{4} + 10 u^{2} - 16\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{2}\, du = 10 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-16\right)\, du = - 16 u$

         El resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} + \frac{10 u^{3}}{3} - 16 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 16 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{2} + 5 x\right) - 8}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} + 5 \sqrt{x} - \frac{8}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \sqrt{x}\, dx = 5 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 16 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 25 x - 120\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 25 x - 120\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 25 x - 120\right)}{15}+ \mathrm{constant}$