Integral de (1/2)^(7*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x$.

      Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{2^{- u}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2^{- u}\, du = \frac{\int 2^{- u}\, du}{7}$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- 2^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2^{- u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{- u}}{7 \log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2^{- 7 x}}{7 \log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{1}{2}\right)^{7 x} = 2^{- 7 x}$

   2. que $u = - 7 x$.

      Luego que $du = - 7 dx$ y ponemos $- \frac{du}{7}$:

      $\int \left(- \frac{2^{u}}{7}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{7}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{7 \log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2^{- 7 x}}{7 \log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{128^{- x}}{7 \log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{128^{- x}}{7 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{128^{- x}}{7 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$