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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x^2/(x^2+1)^4
Integral de (x)/(1+x^2)
Integral de (e^√x)/√x
Integral de -e^x
Expresiones idénticas
(y^ dos -x^ dos)/(x^ dos +y^ dos)^ dos
(y al cuadrado menos x al cuadrado ) dividir por (x al cuadrado más y al cuadrado ) al cuadrado
(y en el grado dos menos x en el grado dos) dividir por (x en el grado dos más y en el grado dos) en el grado dos
(y2-x2)/(x2+y2)2
y2-x2/x2+y22
(y²-x²)/(x²+y²)²
(y en el grado 2-x en el grado 2)/(x en el grado 2+y en el grado 2) en el grado 2
y^2-x^2/x^2+y^2^2
(y^2-x^2) dividir por (x^2+y^2)^2
(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dx
Expresiones semejantes
(y^2+x^2)/(x^2+y^2)^2
(y^2-x^2)/(x^2-y^2)^2

Resolución de integrales/ 2-x^2/ x^2+y/ (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2

Integral de (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dx

Solución

Ha introducido [src]

  1              
  /              
 |               
 |    2    2     
 |   y  - x      
 |  ---------- dx
 |           2   
 |  / 2    2\    
 |  \x  + y /    
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$$

Integral((y^2 - x^2)/(x^2 + y^2)^2, (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx = 2 y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dx$
    1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
  El resultado es: $2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} = - \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - 2 y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
    1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$ .
    El resultado es: $- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
  Por lo tanto, el resultado es: $2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} + \frac{y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} = - \frac{y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
      
      Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$ .
      
      El resultado es: $- y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx = y^{2} \int \frac{1}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
  El resultado es: $2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
Ahora simplificar:

$\frac{- y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} + \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{- y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} + \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} + \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                           /   x   \                                                            
  /                    atan|-------|                                                            
 |                         |   ____|        /                   I*log(x - I*y)   I*log(x + I*y)\
 |   2    2                |  /  2 |        |                 - -------------- + --------------|
 |  y  - x                 \\/  y  /      2 |      x                  4                4       |
 | ---------- dx = C - ------------- + 2*y *|-------------- + ---------------------------------|
 |          2                ____           |   4      2  2                    3               |
 | / 2    2\                /  2            \2*y  + 2*x *y                    y                /
 | \x  + y /              \/  y                                                                 
 |                                                                                              
/

$$\int \frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx = C + 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$$

Simplificar

Respuesta [src]

  1   
------
     2
1 + y

$$\frac{1}{y^{2} + 1}$$

  1   
------
     2
1 + y

$$\frac{1}{y^{2} + 1}$$

1/(1 + y^2)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3