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Resolución de integrales/ 2-x^2/ x^2+y/ (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2

Integral de (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |    2    2     
 |   y  - x      
 |  ---------- dx
 |           2   
 |  / 2    2\    
 |  \x  + y /    
 |               
/                
0
∫01−x2+y2(x2+y2)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx 
Integral((y^2 - x^2)/(x^2 + y^2)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −x2+y2(x2+y2)2=2y2(x2+y2)2−1x2+y2\frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + y^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2y2(x2+y2)2 dx=2y2∫1(x2+y2)2 dx\int \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx = 2 y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x2+y2) dx=−∫1x2+y2 dx\int \left(- \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dx

        1. Integral 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} es atan⁡(xy2)y2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}.

        Por lo tanto, el resultado es: −atan⁡(xy2)y2- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

      El resultado es: 2y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)−atan⁡(xy2)y22 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −x2+y2(x2+y2)2=−x2−y2x4+2x2y2+y4\frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2−y2x4+2x2y2+y4) dx=−∫x2−y2x4+2x2y2+y4 dx\int \left(- \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2−y2x4+2x2y2+y4=−2y2(x2+y2)2+1x2+y2\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} = - \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2y2(x2+y2)2) dx=−2y2∫1(x2+y2)2 dx\int \left(- \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - 2 y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: −2y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)

        1. Integral 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} es atan⁡(xy2)y2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}.

        El resultado es: −2y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)+atan⁡(xy2)y2- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

      Por lo tanto, el resultado es: 2y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)−atan⁡(xy2)y22 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −x2+y2(x2+y2)2=−x2x4+2x2y2+y4+y2x4+2x2y2+y4\frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} + \frac{y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2x4+2x2y2+y4) dx=−∫x2x4+2x2y2+y4 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x4+2x2y2+y4=−y2(x2+y2)2+1x2+y2\frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} = - \frac{y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−y2(x2+y2)2) dx=−y2∫1(x2+y2)2 dx\int \left(- \frac{y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

              Pero la integral

              x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: −y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)- y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)

          1. Integral 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} es atan⁡(xy2)y2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}.

          El resultado es: −y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)+atan⁡(xy2)y2- y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

        Por lo tanto, el resultado es: y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)−atan⁡(xy2)y2y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫y2x4+2x2y2+y4 dx=y2∫1x4+2x2y2+y4 dx\int \frac{y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx = y^{2} \int \frac{1}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)

      El resultado es: 2y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)−atan⁡(xy2)y22 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

  2. Ahora simplificar:

    −y(x2+y2)atan⁡(xy2)+(2xy+i(x2+y2)(−log⁡(x−iy)+log⁡(x+iy)))y22y(x2+y2)y2\frac{- y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} + \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −y(x2+y2)atan⁡(xy2)+(2xy+i(x2+y2)(−log⁡(x−iy)+log⁡(x+iy)))y22y(x2+y2)y2+constant\frac{- y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} + \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−y(x2+y2)atan⁡(xy2)+(2xy+i(x2+y2)(−log⁡(x−iy)+log⁡(x+iy)))y22y(x2+y2)y2+constant\frac{- y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} + \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                           /   x   \                                                            
  /                    atan|-------|                                                            
 |                         |   ____|        /                   I*log(x - I*y)   I*log(x + I*y)\
 |   2    2                |  /  2 |        |                 - -------------- + --------------|
 |  y  - x                 \\/  y  /      2 |      x                  4                4       |
 | ---------- dx = C - ------------- + 2*y *|-------------- + ---------------------------------|
 |          2                ____           |   4      2  2                    3               |
 | / 2    2\                /  2            \2*y  + 2*x *y                    y                /
 | \x  + y /              \/  y                                                                 
 |                                                                                              
/
∫−x2+y2(x2+y2)2 dx=C+2y2(x2x2y2+2y4+−ilog⁡(x−iy)4+ilog⁡(x+iy)4y3)−atan⁡(xy2)y2\int \frac{- x^{2} + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx = C + 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}
Simplificar
Respuesta [src] 
  1   
------
     2
1 + y
1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} 
=
= 
  1   
------
     2
1 + y
1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} 
1/(1 + y^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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