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Resolución de integrales/ (x+3)/ x^2-2/ x^2-x/ -2x+5/ 3x^2-x+10/(x+3)(x^2-2x+5)

Integral de 3x^2-x+10/(x+3)(x^2-2x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |  /   2         10  / 2          \\   
 |  |3*x  - x + -----*\x  - 2*x + 5/| dx
 |  \           x + 3               /   
 |                                      
/                                       
0
∫01(10x+3((x2−2x)+5)+(3x2−x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{10}{x + 3} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right) + \left(3 x^{2} - x\right)\right)\, dx 
Integral(3*x^2 - x + (10/(x + 3))*(x^2 - 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        10x+3((x2−2x)+5)=10x−50+200x+3\frac{10}{x + 3} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right) = 10 x - 50 + \frac{200}{x + 3}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫10x dx=10∫x dx\int 10 x\, dx = 10 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 5x25 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−50) dx=−50x\int \left(-50\right)\, dx = - 50 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫200x+3 dx=200∫1x+3 dx\int \frac{200}{x + 3}\, dx = 200 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

          1. que u=x+3u = x + 3.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 200log⁡(x+3)200 \log{\left(x + 3 \right)}

        El resultado es: 5x2−50x+200log⁡(x+3)5 x^{2} - 50 x + 200 \log{\left(x + 3 \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        10x+3((x2−2x)+5)=10x2−20x+50x+3\frac{10}{x + 3} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right) = \frac{10 x^{2} - 20 x + 50}{x + 3}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        10x2−20x+50x+3=10x−50+200x+3\frac{10 x^{2} - 20 x + 50}{x + 3} = 10 x - 50 + \frac{200}{x + 3}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫10x dx=10∫x dx\int 10 x\, dx = 10 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 5x25 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−50) dx=−50x\int \left(-50\right)\, dx = - 50 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫200x+3 dx=200∫1x+3 dx\int \frac{200}{x + 3}\, dx = 200 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

          1. que u=x+3u = x + 3.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 200log⁡(x+3)200 \log{\left(x + 3 \right)}

        El resultado es: 5x2−50x+200log⁡(x+3)5 x^{2} - 50 x + 200 \log{\left(x + 3 \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        10x+3((x2−2x)+5)=10x2x+3−20xx+3+50x+3\frac{10}{x + 3} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right) = \frac{10 x^{2}}{x + 3} - \frac{20 x}{x + 3} + \frac{50}{x + 3}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫10x2x+3 dx=10∫x2x+3 dx\int \frac{10 x^{2}}{x + 3}\, dx = 10 \int \frac{x^{2}}{x + 3}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x2x+3=x−3+9x+3\frac{x^{2}}{x + 3} = x - 3 + \frac{9}{x + 3}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−3) dx=−3x\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫9x+3 dx=9∫1x+3 dx\int \frac{9}{x + 3}\, dx = 9 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

              1. que u=x+3u = x + 3.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(x+3)9 \log{\left(x + 3 \right)}

            El resultado es: x22−3x+9log⁡(x+3)\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \log{\left(x + 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5x2−30x+90log⁡(x+3)5 x^{2} - 30 x + 90 \log{\left(x + 3 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−20xx+3) dx=−20∫xx+3 dx\int \left(- \frac{20 x}{x + 3}\right)\, dx = - 20 \int \frac{x}{x + 3}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            xx+3=1−3x+3\frac{x}{x + 3} = 1 - \frac{3}{x + 3}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3x+3) dx=−3∫1x+3 dx\int \left(- \frac{3}{x + 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

              1. que u=x+3u = x + 3.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(x+3)- 3 \log{\left(x + 3 \right)}

            El resultado es: x−3log⁡(x+3)x - 3 \log{\left(x + 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −20x+60log⁡(x+3)- 20 x + 60 \log{\left(x + 3 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫50x+3 dx=50∫1x+3 dx\int \frac{50}{x + 3}\, dx = 50 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

          1. que u=x+3u = x + 3.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 50log⁡(x+3)50 \log{\left(x + 3 \right)}

        El resultado es: 5x2−50x+150log⁡(x+3)+50log⁡(x+3)5 x^{2} - 50 x + 150 \log{\left(x + 3 \right)} + 50 \log{\left(x + 3 \right)}

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2 dx=3∫x2 dx\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x3x^{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: x3−x22x^{3} - \frac{x^{2}}{2}

    El resultado es: x3+9x22−50x+200log⁡(x+3)x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 50 x + 200 \log{\left(x + 3 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x3+9x22−50x+200log⁡(x+3)+constantx^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 50 x + 200 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x3+9x22−50x+200log⁡(x+3)+constantx^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 50 x + 200 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                            
 |                                                                            2
 | /   2         10  / 2          \\           3                           9*x 
 | |3*x  - x + -----*\x  - 2*x + 5/| dx = C + x  - 50*x + 200*log(3 + x) + ----
 | \           x + 3               /                                        2  
 |                                                                             
/
∫(10x+3((x2−2x)+5)+(3x2−x)) dx=C+x3+9x22−50x+200log⁡(x+3)\int \left(\frac{10}{x + 3} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right) + \left(3 x^{2} - x\right)\right)\, dx = C + x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 50 x + 200 \log{\left(x + 3 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900250
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-89/2 - 200*log(3) + 200*log(4)
−200log⁡(3)−892+200log⁡(4)- 200 \log{\left(3 \right)} - \frac{89}{2} + 200 \log{\left(4 \right)} 
=
= 
-89/2 - 200*log(3) + 200*log(4)
−200log⁡(3)−892+200log⁡(4)- 200 \log{\left(3 \right)} - \frac{89}{2} + 200 \log{\left(4 \right)} 
-89/2 - 200*log(3) + 200*log(4)
Respuesta numérica [src] 
13.0364144903562
13.0364144903562

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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