Integral de (e^(-t))*(e^(-t-x)) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int e^{- t} e^{- t - x}\, dx = e^{- t} \int e^{- t - x}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - t - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- t - x}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{- t - x} = e^{- t} e^{- x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{- t} e^{- x}\, dx = e^{- t} \int e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- t} e^{- x}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{- t - x} = e^{- t} e^{- x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{- t} e^{- x}\, dx = e^{- t} \int e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- t} e^{- x}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- t} e^{- t - x}$

2. Ahora simplificar:

   $- e^{- 2 t - x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- e^{- 2 t - x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- e^{- 2 t - x}+ \mathrm{constant}$