Integral de x(9-x^2)^7 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 9 - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{7}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{7}\, du = - \frac{\int u^{7}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8}}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(9 - x^{2}\right)^{8}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(9 - x^{2}\right)^{7} = - x^{15} + 63 x^{13} - 1701 x^{11} + 25515 x^{9} - 229635 x^{7} + 1240029 x^{5} - 3720087 x^{3} + 4782969 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{15}\right)\, dx = - \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{16}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 63 x^{13}\, dx = 63 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{14}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1701 x^{11}\right)\, dx = - 1701 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{567 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25515 x^{9}\, dx = 25515 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5103 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 229635 x^{7}\right)\, dx = - 229635 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{229635 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1240029 x^{5}\, dx = 1240029 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{413343 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3720087 x^{3}\right)\, dx = - 3720087 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3720087 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4782969 x\, dx = 4782969 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4782969 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{16}}{16} + \frac{9 x^{14}}{2} - \frac{567 x^{12}}{4} + \frac{5103 x^{10}}{2} - \frac{229635 x^{8}}{8} + \frac{413343 x^{6}}{2} - \frac{3720087 x^{4}}{4} + \frac{4782969 x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x^{2} - 9\right)^{8}}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x^{2} - 9\right)^{8}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x^{2} - 9\right)^{8}}{16}+ \mathrm{constant}$