Sr Examen

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Integral de (3x+4)/(x^2+2x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |    3*x + 4      
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 5   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 4}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((3*x + 4)/(x^2 + 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |   3*x + 4      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 5   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
                   2*x + 2                        
               3*------------                     
                  2                               
  3*x + 4        x  + 2*x + 5           1         
------------ = -------------- + ------------------
 2                   2            /         2    \
x  + 2*x + 5                      |/  x   1\     |
                                4*||- - - -|  + 1|
                                  \\  2   2/     /
o
  /                 
 |                  
 |   3*x + 4        
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 5     
 |                  
/                   
  
  /                                        
 |                                         
 |       1                 /               
 | -------------- dx      |                
 |          2             |   2*x + 2      
 | /  x   1\           3* | ------------ dx
 | |- - - -|  + 1         |  2             
 | \  2   2/              | x  + 2*x + 5   
 |                        |                
/                        /                 
-------------------- + --------------------
         4                      2          
En integral
    /               
   |                
   |   2*x + 2      
3* | ------------ dx
   |  2             
   | x  + 2*x + 5   
   |                
  /                 
--------------------
         2          
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 2*x
entonces
integral =
    /                       
   |                        
   |   1                    
3* | ----- du               
   | 5 + u                  
   |                        
  /             3*log(5 + u)
------------- = ------------
      2              2      
hacemos cambio inverso
    /                                     
   |                                      
   |   2*x + 2                            
3* | ------------ dx                      
   |  2                                   
   | x  + 2*x + 5                         
   |                        /     2      \
  /                    3*log\5 + x  + 2*x/
-------------------- = -------------------
         2                      2         
En integral
  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - - -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4          
hacemos el cambio
      1   x
v = - - - -
      2   2
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4   
hacemos cambio inverso
  /                               
 |                                
 |       1                        
 | -------------- dx              
 |          2                     
 | /  x   1\                      
 | |- - - -|  + 1                 
 | \  2   2/               /1   x\
 |                     atan|- + -|
/                          \2   2/
-------------------- = -----------
         4                  2     
La solución:
        /1   x\                      
    atan|- + -|        /     2      \
        \2   2/   3*log\5 + x  + 2*x/
C + ----------- + -------------------
         2                 2         
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                          /1   x\                      
 |                       atan|- + -|        /     2      \
 |   3*x + 4                 \2   2/   3*log\5 + x  + 2*x/
 | ------------ dx = C + ----------- + -------------------
 |  2                         2                 2         
 | x  + 2*x + 5                                           
 |                                                        
/                                                         
$$\int \frac{3 x + 4}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} + 2 x + 5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta [src]
  3*log(5)   atan(1/2)   pi   3*log(8)
- -------- - --------- + -- + --------
     2           2       8       2    
$$- \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{3 \log{\left(8 \right)}}{2}$$
=
=
  3*log(5)   atan(1/2)   pi   3*log(8)
- -------- - --------- + -- + --------
     2           2       8       2    
$$- \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{3 \log{\left(8 \right)}}{2}$$
-3*log(5)/2 - atan(1/2)/2 + pi/8 + 3*log(8)/2
Respuesta numérica [src]
0.865880721066924
0.865880721066924

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.