Integral de (3y^3cos(3x)+7) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 y^{3} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 3 y^{3} \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $y^{3} \sin{\left(3 x \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 7\, dx = 7 x$

   El resultado es: $7 x + y^{3} \sin{\left(3 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $7 x + y^{3} \sin{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$7 x + y^{3} \sin{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$