Integral de (x*x*(3-x))/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x x \left(3 - x\right)}{2}\, dx = \frac{\int x x \left(3 - x\right)\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- u^{3} - 3 u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 u^{2}\right)\, du = - 3 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3}$

            El resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} - u^{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{x^{4}}{4} + x^{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x x \left(3 - x\right) = - x^{3} + 3 x^{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

         El resultado es: $- \frac{x^{4}}{4} + x^{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(4 - x\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(4 - x\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(4 - x\right)}{8}+ \mathrm{constant}$