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Resolución de integrales/ x+y^2/ x^2/(x+y^2)

Integral de x^2/(x+y^2) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     2     
 |    x      
 |  ------ dy
 |       2   
 |  x + y    
 |           
/            
0
∫01x2x+y2 dy\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x + y^{2}}\, dy 
Integral(x^2/(x + y^2), (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫x2x+y2 dy=x2∫1x+y2 dy\int \frac{x^{2}}{x + y^{2}}\, dy = x^{2} \int \frac{1}{x + y^{2}}\, dy

    1. Integral 1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} es atan⁡(yx)x\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x}} \right)}}{\sqrt{x}}.

    Por lo tanto, el resultado es: x32atan⁡(yx)x^{\frac{3}{2}} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x}} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x32atan⁡(yx)+constantx^{\frac{3}{2}} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x}} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x32atan⁡(yx)+constantx^{\frac{3}{2}} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x}} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                
 |                                 
 |    2                            
 |   x              3/2     /  y  \
 | ------ dy = C + x   *atan|-----|
 |      2                   |  ___|
 | x + y                    \\/ x /
 |                                 
/
∫x2x+y2 dy=C+x32atan⁡(yx)\int \frac{x^{2}}{x + y^{2}}\, dy = C + x^{\frac{3}{2}} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x}} \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
   /    _____    /          _____\       _____    /          _____\\      /    _____    /      _____\       _____    /       _____\\
   |   / -1      |         / -1  |      / -1      |         / -1  ||      |   / -1      |     / -1  |      / -1      |      / -1  ||
   |  /  --- *log|1 + x*  /  --- |     /  --- *log|1 - x*  /  --- ||      |  /  --- *log|x*  /  --- |     /  --- *log|-x*  /  --- ||
 2 |\/    x      \      \/    x  /   \/    x      \      \/    x  /|    2 |\/    x      \  \/    x  /   \/    x      \   \/    x  /|
x *|------------------------------ - ------------------------------| - x *|-------------------------- - ---------------------------|
   \              2                                2               /      \            2                             2             /
−x2(−−1xlog⁡(−x−1x)2+−1xlog⁡(x−1x)2)+x2(−−1xlog⁡(−x−1x+1)2+−1xlog⁡(x−1x+1)2)- x^{2} \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(- x \sqrt{- \frac{1}{x}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x}} \right)}}{2}\right) + x^{2} \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(- x \sqrt{- \frac{1}{x}} + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x}} + 1 \right)}}{2}\right) 
=
= 
   /    _____    /          _____\       _____    /          _____\\      /    _____    /      _____\       _____    /       _____\\
   |   / -1      |         / -1  |      / -1      |         / -1  ||      |   / -1      |     / -1  |      / -1      |      / -1  ||
   |  /  --- *log|1 + x*  /  --- |     /  --- *log|1 - x*  /  --- ||      |  /  --- *log|x*  /  --- |     /  --- *log|-x*  /  --- ||
 2 |\/    x      \      \/    x  /   \/    x      \      \/    x  /|    2 |\/    x      \  \/    x  /   \/    x      \   \/    x  /|
x *|------------------------------ - ------------------------------| - x *|-------------------------- - ---------------------------|
   \              2                                2               /      \            2                             2             /
−x2(−−1xlog⁡(−x−1x)2+−1xlog⁡(x−1x)2)+x2(−−1xlog⁡(−x−1x+1)2+−1xlog⁡(x−1x+1)2)- x^{2} \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(- x \sqrt{- \frac{1}{x}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x}} \right)}}{2}\right) + x^{2} \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(- x \sqrt{- \frac{1}{x}} + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{x}} \log{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x}} + 1 \right)}}{2}\right) 
x^2*(sqrt(-1/x)*log(1 + x*sqrt(-1/x))/2 - sqrt(-1/x)*log(1 - x*sqrt(-1/x))/2) - x^2*(sqrt(-1/x)*log(x*sqrt(-1/x))/2 - sqrt(-1/x)*log(-x*sqrt(-1/x))/2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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