Integral de (2x²-√x⁵+5)/x² dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{5} - 4 u^{4} - 10}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{5} - 4 u^{4} - 10}{u^{3}}\, du = - \int \frac{2 u^{5} - 4 u^{4} - 10}{u^{3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{5} - 4 u^{4} - 10}{u^{3}} = 2 u^{2} - 4 u - \frac{10}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 u\right)\, du = - 4 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{10}{u^{3}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{u^{2}}$

            El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 2 u^{2} + \frac{5}{u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u^{2} - \frac{5}{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x - \frac{5}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \left(\sqrt{x}\right)^{5} + 2 x^{2}\right) + 5}{x^{2}} = - \sqrt{x} + 2 + \frac{5}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sqrt{x}\right)\, dx = - \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x^{2}}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{x}$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x - \frac{5}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x - \frac{5}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x - \frac{5}{x}+ \mathrm{constant}$