Integral de x^2(x^3+9)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 9$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{3}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} + 9\right)^{4}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(x^{3} + 9\right)^{3} = x^{11} + 27 x^{8} + 243 x^{5} + 729 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 27 x^{8}\, dx = 27 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 243 x^{5}\, dx = 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 729 x^{2}\, dx = 729 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $243 x^{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{12}}{12} + 3 x^{9} + \frac{81 x^{6}}{2} + 243 x^{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} + 9\right)^{4}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} + 9\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} + 9\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$