Integral de (x-1)*e^x/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u e^{\frac{1}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u e^{u} - e^{u}}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u e^{u} - e^{u}}{u} = e^{u} - \frac{e^{u}}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du$

               EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

            El resultado es: $e^{u} - \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\frac{1}{u}} - \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} \left(x - 1\right)}{x} = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u e^{\frac{1}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u e^{\frac{1}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} = \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u} - \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du$

               EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{\frac{1}{u}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{\frac{1}{u}}$

         El resultado es: $e^{\frac{1}{u}} - \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} \left(x - 1\right)}{x} = e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{x}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{x}\, dx$

         EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

      El resultado es: $e^{x} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$