Integral de (x-6)^32 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x - 6$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{32}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{32}\, du = \frac{u^{33}}{33}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x - 6\right)^{33}}{33}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 6\right)^{32} = x^{32} - 192 x^{31} + 17856 x^{30} - 1071360 x^{29} + 46604160 x^{28} - 1565899776 x^{27} + 42279293952 x^{26} - 942224265216 x^{25} + 17666704972800 x^{24} - 282667279564800 x^{23} + 3900808457994240 x^{22} - 46809701495930880 x^{21} + 491501865707274240 x^{20} - 4536940298836377600 x^{19} + 36943656719096217600 x^{18} - 265994328377492766720 x^{17} + 1695713843406516387840 x^{16} - 9575795821589739601920 x^{15} + 47878979107948698009600 x^{14} - 211675486582510033305600 x^{13} + 825534397671789129891840 x^{12} - 2830403649160419873914880 x^{11} + 8491210947481259621744640 x^{10} - 22150985080385894665420800 x^{9} + 49839716430868262997196800 x^{8} - 95692255547267064954617856 x^{7} + 154579797422508335695921152 x^{6} - 206106396563344447594561536 x^{5} + 220828282032154765279887360 x^{4} - 182754440302472909197148160 x^{3} + 109652664181483745518288896 x^{2} - 42446192586380804716756992 x + 7958661109946400884391936$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{32}\, dx = \frac{x^{33}}{33}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 192 x^{31}\right)\, dx = - 192 \int x^{31}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{31}\, dx = \frac{x^{32}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 x^{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 17856 x^{30}\, dx = 17856 \int x^{30}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{30}\, dx = \frac{x^{31}}{31}$

         Por lo tanto, el resultado es: $576 x^{31}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1071360 x^{29}\right)\, dx = - 1071360 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 35712 x^{30}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 46604160 x^{28}\, dx = 46604160 \int x^{28}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{28}\, dx = \frac{x^{29}}{29}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1607040 x^{29}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1565899776 x^{27}\right)\, dx = - 1565899776 \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 55924992 x^{28}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 42279293952 x^{26}\, dx = 42279293952 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1565899776 x^{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 942224265216 x^{25}\right)\, dx = - 942224265216 \int x^{25}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 36239394816 x^{26}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 17666704972800 x^{24}\, dx = 17666704972800 \int x^{24}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $706668198912 x^{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 282667279564800 x^{23}\right)\, dx = - 282667279564800 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 11777803315200 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3900808457994240 x^{22}\, dx = 3900808457994240 \int x^{22}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $169600367738880 x^{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 46809701495930880 x^{21}\right)\, dx = - 46809701495930880 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{23404850747965440 x^{22}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 491501865707274240 x^{20}\, dx = 491501865707274240 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $23404850747965440 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4536940298836377600 x^{19}\right)\, dx = - 4536940298836377600 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 226847014941818880 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 36943656719096217600 x^{18}\, dx = 36943656719096217600 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1944402985215590400 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 265994328377492766720 x^{17}\right)\, dx = - 265994328377492766720 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 14777462687638487040 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1695713843406516387840 x^{16}\, dx = 1695713843406516387840 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $99747873141559787520 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 9575795821589739601920 x^{15}\right)\, dx = - 9575795821589739601920 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 598487238849358725120 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 47878979107948698009600 x^{14}\, dx = 47878979107948698009600 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3191931940529913200640 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 211675486582510033305600 x^{13}\right)\, dx = - 211675486582510033305600 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 15119677613036430950400 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 825534397671789129891840 x^{12}\, dx = 825534397671789129891840 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $63502645974753009991680 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2830403649160419873914880 x^{11}\right)\, dx = - 2830403649160419873914880 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 235866970763368322826240 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8491210947481259621744640 x^{10}\, dx = 8491210947481259621744640 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8491210947481259621744640 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 22150985080385894665420800 x^{9}\right)\, dx = - 22150985080385894665420800 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2215098508038589466542080 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 49839716430868262997196800 x^{8}\, dx = 49839716430868262997196800 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5537746270096473666355200 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 95692255547267064954617856 x^{7}\right)\, dx = - 95692255547267064954617856 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 11961531943408383119327232 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 154579797422508335695921152 x^{6}\, dx = 154579797422508335695921152 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $22082828203215476527988736 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 206106396563344447594561536 x^{5}\right)\, dx = - 206106396563344447594561536 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 34351066093890741265760256 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 220828282032154765279887360 x^{4}\, dx = 220828282032154765279887360 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $44165656406430953055977472 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 182754440302472909197148160 x^{3}\right)\, dx = - 182754440302472909197148160 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 45688610075618227299287040 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 109652664181483745518288896 x^{2}\, dx = 109652664181483745518288896 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $36550888060494581839429632 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 42446192586380804716756992 x\right)\, dx = - 42446192586380804716756992 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 21223096293190402358378496 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 7958661109946400884391936\, dx = 7958661109946400884391936 x$

      El resultado es: $\frac{x^{33}}{33} - 6 x^{32} + 576 x^{31} - 35712 x^{30} + 1607040 x^{29} - 55924992 x^{28} + 1565899776 x^{27} - 36239394816 x^{26} + 706668198912 x^{25} - 11777803315200 x^{24} + 169600367738880 x^{23} - \frac{23404850747965440 x^{22}}{11} + 23404850747965440 x^{21} - 226847014941818880 x^{20} + 1944402985215590400 x^{19} - 14777462687638487040 x^{18} + 99747873141559787520 x^{17} - 598487238849358725120 x^{16} + 3191931940529913200640 x^{15} - 15119677613036430950400 x^{14} + 63502645974753009991680 x^{13} - 235866970763368322826240 x^{12} + \frac{8491210947481259621744640 x^{11}}{11} - 2215098508038589466542080 x^{10} + 5537746270096473666355200 x^{9} - 11961531943408383119327232 x^{8} + 22082828203215476527988736 x^{7} - 34351066093890741265760256 x^{6} + 44165656406430953055977472 x^{5} - 45688610075618227299287040 x^{4} + 36550888060494581839429632 x^{3} - 21223096293190402358378496 x^{2} + 7958661109946400884391936 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 6\right)^{33}}{33}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 6\right)^{33}}{33}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 6\right)^{33}}{33}+ \mathrm{constant}$