Integral de (x√x-x^3)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 u^{19} + 6 u^{16} - 6 u^{13} + 2 u^{10}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{19}\right)\, du = - 2 \int u^{19}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{19}\, du = \frac{u^{20}}{20}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{20}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{16}\, du = 6 \int u^{16}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{17}}{17}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u^{13}\right)\, du = - 6 \int u^{13}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{14}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{10}\, du = 2 \int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{11}}{11}$

         El resultado es: $- \frac{u^{20}}{10} + \frac{6 u^{17}}{17} - \frac{3 u^{14}}{7} + \frac{2 u^{11}}{11}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11} - \frac{x^{10}}{10} - \frac{3 x^{7}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{x} x - x^{3}\right)^{3} = 3 x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{9}{2}} - x^{9} - 3 x^{6}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{15}{2}}\, dx = 3 \int x^{\frac{15}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{15}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{17}{2}}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 x^{\frac{17}{2}}}{17}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{9}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{9}\right)\, dx = - \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{6}\right)\, dx = - 3 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{7}}{7}$

      El resultado es: $\frac{6 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11} - \frac{x^{10}}{10} - \frac{3 x^{7}}{7}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{6 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11} - \frac{x^{10}}{10} - \frac{3 x^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{6 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11} - \frac{x^{10}}{10} - \frac{3 x^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$