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Resolución de integrales/ (sinx)/ (cosx)/ (sinx)^6(cosx)^2

Integral de (sinx)^6(cosx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
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 |  sin (x)*cos (x) dx
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0
∫01sin⁡6(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)^6*cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡6(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)3(cos⁡(2x)2+12)\sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(−cos⁡4(u)32+cos⁡3(u)16−cos⁡(u)16+132) du\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32} + \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{32}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡4(u)32) du=−∫cos⁡4(u) du32\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{32}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡4(u)=(cos⁡(2u)2+12)2\cos^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

          2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(2u)2+12)2=cos⁡2(2u)4+cos⁡(2u)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(2u)4 du=∫cos⁡2(2u) du4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(2u)=cos⁡(4u)2+12\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(4u)2 du=∫cos⁡(4u) du2\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=4uu = 4 u.

                      Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

                      ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(4u)4\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4u)8\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  El resultado es: u2+sin⁡(4u)8\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: u8+sin⁡(4u)32\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

              El resultado es: 3u8+sin⁡(2u)4+sin⁡(4u)32\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(2u)2+12)2=cos⁡2(2u)4+cos⁡(2u)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(2u)4 du=∫cos⁡2(2u) du4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(2u)=cos⁡(4u)2+12\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(4u)2 du=∫cos⁡(4u) du2\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=4uu = 4 u.

                      Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

                      ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(4u)4\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4u)8\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  El resultado es: u2+sin⁡(4u)8\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: u8+sin⁡(4u)32\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

              El resultado es: 3u8+sin⁡(2u)4+sin⁡(4u)32\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u256−sin⁡(2u)128−sin⁡(4u)1024- \frac{3 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡3(u)16 du=∫cos⁡3(u) du16\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡3(u)=(1−sin⁡2(u))cos⁡(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

          2. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(u)3+sin⁡(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)48+sin⁡(u)16- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(u)16) du=−∫cos⁡(u) du16\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)16- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫132 du=u32\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}

        El resultado es: 5u256−sin⁡(2u)128−sin⁡(4u)1024−sin⁡3(u)48\frac{5 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

      Si ahora sustituir uu más en:

      5x128−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2x)2)3(cos⁡(2x)2+12)=−cos⁡4(2x)16+cos⁡3(2x)8−cos⁡(2x)8+116\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = - \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{16}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡4(2x)16) dx=−∫cos⁡4(2x) dx16\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=8xu = 8 x.

                  Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                  ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x128−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024- \frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(2x)8 dx=∫cos⁡3(2x) dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

        2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)48+sin⁡(2x)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)8) dx=−∫cos⁡(2x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)16- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫116 dx=x16\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}

      El resultado es: 5x128−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2x)2)3(cos⁡(2x)2+12)=−cos⁡4(2x)16+cos⁡3(2x)8−cos⁡(2x)8+116\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = - \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{16}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡4(2x)16) dx=−∫cos⁡4(2x) dx16\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=8xu = 8 x.

                  Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                  ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x128−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024- \frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(2x)8 dx=∫cos⁡3(2x) dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

        2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)48+sin⁡(2x)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)8) dx=−∫cos⁡(2x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)16- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫116 dx=x16\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}

      El resultado es: 5x128−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5x128−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024+constant\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5x128−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024+constant\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                             3                                 
 |    6       2             sin (2*x)   sin(4*x)   sin(8*x)   5*x
 | sin (x)*cos (x) dx = C - --------- - -------- - -------- + ---
 |                              48        128        1024     128
/
∫sin⁡6(x)cos⁡2(x) dx=C+5x128−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)128−sin⁡(8x)1024\int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                             3                5                7          
 5    5*cos(1)*sin(1)   5*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
--- - --------------- - ---------------- - -------------- + --------------
128         128               192                48               8
−5sin⁡(1)cos⁡(1)128−5sin⁡3(1)cos⁡(1)192−sin⁡5(1)cos⁡(1)48+sin⁡7(1)cos⁡(1)8+5128- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} - \frac{5 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{192} - \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{48} + \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} + \frac{5}{128} 
=
= 
                             3                5                7          
 5    5*cos(1)*sin(1)   5*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
--- - --------------- - ---------------- - -------------- + --------------
128         128               192                48               8
−5sin⁡(1)cos⁡(1)128−5sin⁡3(1)cos⁡(1)192−sin⁡5(1)cos⁡(1)48+sin⁡7(1)cos⁡(1)8+5128- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} - \frac{5 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{192} - \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{48} + \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} + \frac{5}{128} 
5/128 - 5*cos(1)*sin(1)/128 - 5*sin(1)^3*cos(1)/192 - sin(1)^5*cos(1)/48 + sin(1)^7*cos(1)/8
Respuesta numérica [src] 
0.0283457879846044
0.0283457879846044

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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