Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(7 x + 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 5 x^{2} + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 x^{2} + x}{- 5 x^{2} + \left(x^{3} + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(7 x + 1\right)}{x^{3} - 5 x^{2} + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(7 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 5 x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{14 x + 1}{3 x^{2} - 10 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(14 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 10 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{14}{6 x - 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{14}{6 x - 10}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)