Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (4+5*x+6*x^2)/(-2+3*x^2+7*x)
-
Límite de ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Límite de (5-4/cos(x))^(sin(3*x)^(-2))
-
Expresiones idénticas
- cinco +x- cuatro /(nueve +x^ dos)^ dos
- 5 más x menos 4 dividir por (9 más x al cuadrado ) al cuadrado
- cinco más x menos cuatro dividir por (nueve más x en el grado dos) en el grado dos
- 5+x-4/(9+x2)2
- 5+x-4/9+x22
- 5+x-4/(9+x²)²
- 5+x-4/(9+x en el grado 2) en el grado 2
- 5+x-4/9+x^2^2
- 5+x-4 dividir por (9+x^2)^2
-
Expresiones semejantes
- 5+x+4/(9+x^2)^2
- 5-x-4/(9+x^2)^2
- 5+x-4/(9-x^2)^2
Límite de la función 5+x-4/(9+x^2)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 \
lim |5 + x - ---------|
x->oo| 2|
| / 2\ |
\ \9 + x / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right)$$
Limit(5 + x - 4/(9 + x^2)^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + 5 x^{4} + 18 x^{3} + 90 x^{2} + 81 x + 401\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 18 x^{2} + 81\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) \left(x^{2} + 9\right)^{2} - 4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 5 x^{4} + 18 x^{3} + 90 x^{2} + 81 x + 401\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 18 x^{2} + 81\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} + 20 x^{3} + 54 x^{2} + 180 x + 81}{4 x^{3} + 36 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 20 x^{3} + 54 x^{2} + 180 x + 81\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + 36 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} + 60 x^{2} + 108 x + 180}{12 x^{2} + 36}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 60 x^{2} + 108 x + 180\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} + 36\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{60 x^{2} + 120 x + 108}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 120 x + 108\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x + 5\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x + 5\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + 5 x^{4} + 18 x^{3} + 90 x^{2} + 81 x + 401\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 18 x^{2} + 81\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) \left(x^{2} + 9\right)^{2} - 4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 5 x^{4} + 18 x^{3} + 90 x^{2} + 81 x + 401\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 18 x^{2} + 81\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} + 20 x^{3} + 54 x^{2} + 180 x + 81}{4 x^{3} + 36 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 20 x^{3} + 54 x^{2} + 180 x + 81\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + 36 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} + 60 x^{2} + 108 x + 180}{12 x^{2} + 36}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 60 x^{2} + 108 x + 180\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} + 36\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{60 x^{2} + 120 x + 108}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 120 x + 108\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x + 5\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x + 5\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{401}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{401}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{149}{25}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{149}{25}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{401}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{401}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{149}{25}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = \frac{149}{25}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 5\right) - \frac{4}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo