Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- x*(uno + ocho *x)^ dos /(cinco + ocho *x)^ dos
- x multiplicar por (1 más 8 multiplicar por x) al cuadrado dividir por (5 más 8 multiplicar por x) al cuadrado
- x multiplicar por (uno más ocho multiplicar por x) en el grado dos dividir por (cinco más ocho multiplicar por x) en el grado dos
- x*(1+8*x)2/(5+8*x)2
- x*1+8*x2/5+8*x2
- x*(1+8*x)²/(5+8*x)²
- x*(1+8*x) en el grado 2/(5+8*x) en el grado 2
- x(1+8x)^2/(5+8x)^2
- x(1+8x)2/(5+8x)2
- x1+8x2/5+8x2
- x1+8x^2/5+8x^2
- x*(1+8*x)^2 dividir por (5+8*x)^2
-
Expresiones semejantes
- x*(1-8*x)^2/(5+8*x)^2
- x*(1+8*x)^2/(5-8*x)^2
Límite de la función x*(1+8*x)^2/(5+8*x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|x*(1 + 8*x) |
lim |------------|
x->oo| 2 |
\ (5 + 8*x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
Limit((x*(1 + 8*x)^2)/(5 + 8*x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{64 + \frac{16}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{64}{x} + \frac{80}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{64 + \frac{16}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{64}{x} + \frac{80}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 16 u + 64}{25 u^{3} + 80 u^{2} + 64 u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 16 + 64}{25 \cdot 0^{3} + 0 \cdot 64 + 80 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{64 + \frac{16}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{64}{x} + \frac{80}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{64 + \frac{16}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{64}{x} + \frac{80}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 16 u + 64}{25 u^{3} + 80 u^{2} + 64 u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 16 + 64}{25 \cdot 0^{3} + 0 \cdot 64 + 80 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(8 x + 1\right)^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(8 x + 5\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{192 x^{2} + 32 x + 1}{128 x + 80}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{192 x^{2} + 32 x + 1}{128 x + 80}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(8 x + 1\right)^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(8 x + 5\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(8 x + 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{192 x^{2} + 32 x + 1}{128 x + 80}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{192 x^{2} + 32 x + 1}{128 x + 80}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = \frac{81}{169}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = \frac{81}{169}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = \frac{81}{169}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = \frac{81}{169}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(8 x + 1\right)^{2}}{\left(8 x + 5\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo