Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- (sqrt(seis +x^ dos - dos *x)-sqrt(- seis +x^ dos + dos *x))/(tres +x^ dos - cuatro *x)
- ( raíz cuadrada de (6 más x al cuadrado menos 2 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de ( menos 6 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x)) dividir por (3 más x al cuadrado menos 4 multiplicar por x)
- ( raíz cuadrada de (seis más x en el grado dos menos dos multiplicar por x) menos raíz cuadrada de ( menos seis más x en el grado dos más dos multiplicar por x)) dividir por (tres más x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x)
- (√(6+x^2-2*x)-√(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
- (sqrt(6+x2-2*x)-sqrt(-6+x2+2*x))/(3+x2-4*x)
- sqrt6+x2-2*x-sqrt-6+x2+2*x/3+x2-4*x
- (sqrt(6+x²-2*x)-sqrt(-6+x²+2*x))/(3+x²-4*x)
- (sqrt(6+x en el grado 2-2*x)-sqrt(-6+x en el grado 2+2*x))/(3+x en el grado 2-4*x)
- (sqrt(6+x^2-2x)-sqrt(-6+x^2+2x))/(3+x^2-4x)
- (sqrt(6+x2-2x)-sqrt(-6+x2+2x))/(3+x2-4x)
- sqrt6+x2-2x-sqrt-6+x2+2x/3+x2-4x
- sqrt6+x^2-2x-sqrt-6+x^2+2x/3+x^2-4x
- (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x)) dividir por (3+x^2-4*x)
-
Expresiones semejantes
- (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2-2*x))/(3+x^2-4*x)
- (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
- (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6-x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
- (sqrt(6+x^2+2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
- (sqrt(6+x^2-2*x)+sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
- (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3-x^2-4*x)
- (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2+4*x)
- (sqrt(6-x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
Límite de la función (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ _______________\
| / 2 / 2 |
|\/ 6 + x - 2*x - \/ -6 + x + 2*x |
lim |--------------------------------------|
x->3+| 2 |
\ 3 + x - 4*x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Limit((sqrt(6 + x^2 - 2*x) - sqrt(-6 + x^2 + 2*x))/(3 + x^2 - 4*x), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)} \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}$$
=
$$\frac{12 - 4 x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}$$
=
$$- \frac{4}{\left(x - 1\right) \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{4}{\left(x - 1\right) \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)} \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}$$
=
$$\frac{12 - 4 x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}$$
=
$$- \frac{4}{\left(x - 1\right) \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{4}{\left(x - 1\right) \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} + \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 4 x + 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{x^{2} - 4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}}}{2 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}}}{2 x - 4}\right)$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 4 x + 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{x^{2} - 4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}}}{2 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}}}{2 x - 4}\right)$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ______________ _______________\
| / 2 / 2 |
|\/ 6 + x - 2*x - \/ -6 + x + 2*x |
lim |--------------------------------------|
x->3+| 2 |
\ 3 + x - 4*x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
-1/3
$$- \frac{1}{3}$$
= -0.333333333333333
/ ______________ _______________\
| / 2 / 2 |
|\/ 6 + x - 2*x - \/ -6 + x + 2*x |
lim |--------------------------------------|
x->3-| 2 |
\ 3 + x - 4*x /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
-1/3
$$- \frac{1}{3}$$
= -0.333333333333333
= -0.333333333333333
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6} i}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6} i}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{3} i \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{3} i \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6} i}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6} i}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{3} i \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{3} i \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 6\right)} - \sqrt{2 x + \left(x^{2} - 6\right)}}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico