Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
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Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- raíz cuadrada de ((a más x) multiplicar por (b más x)) menos x
- √((a+x)*(b+x))-x
- sqrt((a+x)(b+x))-x
- sqrta+xb+x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt((a+x)*(b-x))-x
- sqrt((a-x)*(b+x))-x
- sqrt((a+x)*(b+x))+x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
- sqrt(1+x^2-4*x)-sqrt(x+x^2)
Límite de la función sqrt((a+x)*(b+x))-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________________ \ lim \\/ (a + x)*(b + x) - x/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)$$
Limit(sqrt((a + x)*(b + x)) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) \left(x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(a + x\right) \left(b + x\right)}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(a + x\right) \left(b + x\right)}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{1 + \frac{\sqrt{a b + a x + b x + x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{\sqrt{\frac{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} + \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} + \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a b u + a + b}{\sqrt{a b u^{2} + a u + b u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 a b + a + b}{\sqrt{0^{2} a b + 0 a + 0 b + 1} + 1} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) \left(x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(a + x\right) \left(b + x\right)}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(a + x\right) \left(b + x\right)}{x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{1 + \frac{\sqrt{a b + a x + b x + x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{\sqrt{\frac{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} + \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} + a + b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} + \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a b u + a + b}{\sqrt{a b u^{2} + a u + b u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 a b + a + b}{\sqrt{0^{2} a b + 0 a + 0 b + 1} + 1} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b + a + b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b + a + b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b + a + b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \sqrt{a b + a + b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{\left(a + x\right) \left(b + x\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo