Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(tres +x^ dos + dos *x)-x
- raíz cuadrada de (3 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x) menos x
- raíz cuadrada de (tres más x en el grado dos más dos multiplicar por x) menos x
- √(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(3+x2+2*x)-x
- sqrt3+x2+2*x-x
- sqrt(3+x²+2*x)-x
- sqrt(3+x en el grado 2+2*x)-x
- sqrt(3+x^2+2x)-x
- sqrt(3+x2+2x)-x
- sqrt3+x2+2x-x
- sqrt3+x^2+2x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(3+x^2+2*x)+x
- sqrt(3+x^2-2*x)-x
- sqrt(3-x^2+2*x)-x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
- sqrt(1+x^2-4*x)-sqrt(x+x^2)
Límite de la función sqrt(3+x^2+2*x)-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ \
| / 2 |
lim \\/ 3 + x + 2*x - x/
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Limit(sqrt(3 + x^2 + 2*x) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) \left(x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{\sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u + 2}{\sqrt{3 u^{2} + 2 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 3 + 2}{1 + \sqrt{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) \left(x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{\sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u + 2}{\sqrt{3 u^{2} + 2 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 3 + 2}{1 + \sqrt{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico