Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + x^{4} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) + \frac{1}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \left(x + 1\right) + 1}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + x^{4} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} + 4 x^{3}}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 4 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} + 12 x^{2}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 12 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{60 x^{2} + 24 x}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x + 1\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)