Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(4^{x - 3} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 4 x + 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4^{x - 3} - 1}{- 4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4^{x - 3} - 1}{x^{2} - 4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4^{x - 3} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4^{x - 3} \log{\left(4 \right)}}{2 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{2 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{2 x - 4}\right)$$
=
$$\log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)